796 Kapitel 24, § 4. 



(X,(*)X,(^)) =^t^,,.,X(^)/- (/. = 1, 2 . . m), 



1 



r 



1 

 Die tl^x^^y werden zunächst gewisse Functionen aller nm -\- n Veränder- 

 lichen (27) sein. Weil nun jede der m -f 1 letzten Relationen nur 

 eine Reihe von n Veränderlichen enthält, so schliessen wir, wie bei 

 früheren ähnlichen Gelegenheiten (vgl. z. B. § 3 des 15. Kap., S. 382), 

 dass die ^^^,, von allen nm ■\- n Veränderlichen frei, also bloss Con- 

 stanten cxi.iv sind, sodass sich ergiebt: 



r 



(34) (XxX,) =^rcx,vX,f (A, ^ = 1^ 2 . . r). 



Dies aber sagt nach dem Hauptsatze aus, dass XJ. . Xrf eine r-gliedrige 

 Gruppe in x^. . Xn erzeugen, bei der r ^ nm ist. 



Da die s Gleichungen (30) unter den r Gleichungen (33) ent- 

 halten sind, so folgt, dass UJ.-.UJ sich durch rj..Vrf linear aus- 

 drücken: 



r 



'Uof~^'%„,V,f ((? = !, 2..S). 

 1 



Hierin sind die Xo^> vorerst Functionen der nm-{-n Veräoderlichen (27). 

 Aber diese Forderung zerfallt wegen der Formen (30) und (33) von 

 Uaf und V(,f in die m -4- 1 einzelnen: 



r 



r.(Y=^?;C.,X,(Y (ä;=1, 2..m), 

 1 



r 

 1 



und zeigen, dass die Xnq nur Constanten sind. Es ist somit 



r 



(35) r„/EE^^Const.X^/- (ö=l, 2..S), 



d. h. YJ. . Y,f gehören der Gruppe XJ. . X.f an. 



Die Gleichung (29) ist nach Voraussetzung bei irgendwie ge- 

 wähltem eine Folge der Gleichungen (30). Es ist daher auch 



und da hieraus sofort einzeln 



