Systeme von DifiFerentialgleichungen mit Fundamentallösungen, 797 



rw/- = <o, r, w/- +•• + «, r/)/- (ä; = i , 2 . . m), • 



folgt, so beweist man sofort, dass oj . . ca^ von den nm -\- n Veränder- 

 lichen (27) frei, also Functionen von allein sind, denn tritt ja noch 

 in üf auf. Also ist : 



oder nach (35): 



(36) Yf= Z,{z)XJ+ . . + Z,{z)X,.f. 



Hierin sind Z^{s) . . Zr{d) Functionen von z allein. 

 Allgemein wird Xjf die Form haben: 



n 



Xjf='^i%; {X, . . x:) ll (i = 1 , 2 . . r), 

 1 ' 



sodass, wie wir sahen, X^f..Xrf eine r-gliedrige Gruppe erzeugen. 

 Mithin giebt (36): 



11 * 



d. h.: 



r 



Vi^^Zj^jj. 



1 



Setzen wir diesen Wert in das simultane System (24) ein, so gelangen 

 wir zu dem Ergebnis: 



Damit das System (24) die zu Anfang angegebene Eigenschaft i"'"'''« ''er 

 besitze, muss es jedenfalls die Form haben: Systeme. 



(^•=l, 2..n), 



in der Z^. . Zr Functionen von z allein und die l^»- solche Functionen 

 von x^. .Xn allein sind, dass die r infinitesimalen Transformationen 



Xjf=^^^^ix}g^ (i = l,2..r) 



eine r-gliedrige Gruppe erzeugen. Ferner muss dabei r^^nm sein. 



Wenn umgekehrt diese Bedingungen erfüllt sind, so hat auch das 

 System (37) die verlangte Eigenschaft. Wählt man nämlich die Zahl 



