798 Kapitel 24, § 4. 



m hinreichend gross, so besitzt die Gleichung (29) oder, wie sie jetzt 

 lautet, die Gleichung 



r 



1 



sicher wenigstens eine Reihe von n von einander hinsichtlich cc^. .x^ 

 unabhängigen Lösungen J^. .J„, die frei von sind. Denn die 

 Gleichungen 



(38) XjWf + . . + Z/-)^ + Z,/ = (i = 1 , 2 . . r) 



sind bei passend gewähltem m von einander unabhängig. Zur Be- 

 gründung dieser Behauptung dient genau die Entwickelung, die in 

 § 3 des 15. Kap., S. 387 für die dortigen Wjf = gegeben wurde. 

 Wir dürfen uns daher darauf beschränken, auf jene Stelle zurück- 

 zuverweisen. Wir haben nun ein r-gliedriges vollständiges System 



(38) in nm -\- n Veränderlichen vor uns, da die Relationen (34) be- 

 stehen. Es besitzt nm -[- n — r, also bei genügend grossem m minde- 

 stens n gemeinsame Lösungen, unter denen n von einander hinsicht- 

 lich Xi..x„ unabhängig sind: J^..J^. Wären sie nicht hinsichtlich 

 x^. .Xn von einander unabhängig, so gäbe es Lösungen, die von rCj . , rc„ 

 ganz frei sind, also das System 



(39) X,(i)^ +■■ + Z/«)/- =0 (j = 1 , 2 . . 



erfüllten. Sobald nun m hinreichend gross gewählt ist, ist auch dieses 

 System r-gliedrig, sodass es genau n Lösungen weniger als (38) besitzt. 

 Aus diesen n Lösungen von (38), die (39) nicht erfüllen, lässt sich also 

 keine von x^. .Xn freie herstellen. Sie sind daher in der That von, 

 einander gerade hinsichtlich x^. .Xn unabhängig. Aus der Existenz 

 dieser Lösungen 



j;(a;/i) . . a;„(i), . . ., a;/"') . . a:«^"), x^ . . Xn) 

 («■ = 1, 2 . . n) 



folgt, wie schon oben (nach (29)) bemerkt wurde, dass die Differential- 

 gleichungen (37) die verlangte Eigenschaft besitzen. 



Die soeben gemachten Bemerkungen können auch so ausge- 

 sprochen werden: Bei vorgelegter Gruppe X^f .. Xrf eines Raumes von 

 n Dimensionen besitzt stets eine hinreichend grosse Anmhl (w -f- 1) von 

 PunJcten (x'^^^) . . (a;f"')), (x) mindestens n Invarianten, die in x^. .Xn von 

 einander unabhängig sind. Wir erinnern hierbei daran, dass wir schon 

 in § 2 des 4. Kap. solche Invarianten bei der speciellen linearen 

 Gruppe der Ebene betrachtet haben. 



