Systeme von Differentialgleichungen mit Fundamentallösungen. 799 



Wir sind zu dem Theoreme gelaugt: 



Theorem 44: Damit das System von n simultanen Bifferen- Theoremi 

 tialgleichungen: syst, mit 



Fundamen« 

 dx. tallösgn. 



-j^ = rii{x^..x„) {i= \, 2..M) 



in x^ . .Xn, z die Eigenschaft besitze, dass das allgemeine Lö- 

 sungensystem x^ . . x„ aus einer gewissen Anzahl m von allge- 

 mein gewählten particularen Lösungensystemen 



^1 == ^^^*^ 0Cn== a;„(*) (/^ = 1, 2 ..m) 



durch ein Formelsystem: 



(i= 1,2 ..n) 



mit n tvillMrlichen Constanten a^ . . an darstellhar sei, ist not- 

 wendig und hinreichend, dass es die besondere Form habe: 



{i=l, 2..n), 



in der Z^ . . Zr Functionen von z allein und die %{ solche Func- 

 tionen von Xi . . Xn allein sind, dass die infinitesimalen Trans- 

 formationen 



eine r-gliedrige Gruppe erzeugen. 



Auch haben wir gesehen, dass die Zahl m die Ungleichung 



nm ^ r 



erfüllt. 



Das System von n gewöhnlichen Differentialgleichungen, von dem 

 wir ausgehen, ist äquivalent der linearen partiellen Differentialgleichung 



/,-\-Vi(^i'-^n,2)^^-\ f- ri^(x, . . Xn, z) 1^ == 0. 



Eine lineare partielle Differentialgleichung 



(40) 



i ( \^^ .±- ( \ ^f \ 



fc. -]- ^n (^1 ' ' Xn, Z) ^-^ = 



ist also dann und nur dann eine solche mit Fundamentallösunsen, 

 wenn sie auf eine derartige Form gebracht werden kann: 



