800 Kapitel 24, § 4. 



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 dass XJ..Xrf eine r-gliedrige Gruppe in x^..Xa allein erzeugen. 

 Da jedes System von simultanen gewöhnlichen Differentialgleichungen 

 beliebiger Ordnung mit einer linearen partiellen Differentialgleichung 

 von der Form (40) äquivalent ist, so erhellt hieraus die Tragweite 

 unseres Theorems*). 



Lie hat im Jahre 1884 in seiner Integrationstheorie der Diffe- 

 rentialgleichungen, die infinitesimale Transformationen gestatten**), eine 

 grosse Integrationstheorie gerade für die Differentialgleichungen von 

 der Form (41) entwickelt***). 



Auf Gleichungen von dieser Form reduciert Lie alle Hülfsgiei- 

 chungen, die man bei der Integration eines vollständigen Systems mit 

 bekannten infinitesimalen Transformationen erledigen muss. Anderer- 

 seits reduciert er aber auch die Integration einer Gleichung von dieser 

 Form (41), sobald sie gewisse bekannte Integralgleichungen besitzt, 

 auf die Erledigung eines vollständigen Systems mit bekannten infini- 

 tesimalen Transformationen. 



Wir kommen hiermit auf die Bemerkungen zurück, mit denen 

 wir die „Vorlesungen über Differentialgleichungen mit bekannten in- 

 finitesimalen Transformationen" abschlössen. Es wird beabsichtigt, 

 diesen Zusammenhang an anderer Stelle ausführlich darzustellen. 



*) Lie hatte schon 1884 die Differentialgleichungen von der Form (41) be- 

 trachtet. Vessiot hat zuerst die Frage nach allen gewöhnlichen Differential- 

 gleichungen aufgestellt, die Fundamentalsysteme besitzen (Comptes Kendus 

 T. CXVI (1893), S. 427, 959, 1112). Guldberg hat alsdann die Frage verall- 

 gemeinert, indem er sich nicht auf gewöhnliche Differentialgleichungen be- 

 schränkte (Ebenda S. 964). Aber beide Autoren gelangen nicht zu allen Lie- 

 schen Differentialgleichungen (41), die offenbar Fundamentalsysteme besitzen. Ihre 

 Untersuchungen weisen daher notwendig eine Lücke auf. Diese besteht darin, 

 dass sie implicite eine wesentliche Beschränkung machen, nämlich die, dass das 

 allgemeinste Formelsystem 



Xi = 9,(^1^^^ . . cc^^'\ . . , x,^"^^ . . x}''\ a, . . a„) 



(i = 1 , 2 . . w) 



aus einem solchen System durch Einführung von Functionen der Constanten 

 a^. .a^ als neuen Constanten hervorgehen soll. Die allgemeine, oben vorgetragene 

 Lösung ist von Lie gegeben worden. (Siehe auch: Über Differentialgleichungen, 

 die Fundamentalintegrale besitzen. Leipziger Berichte 1893, S. 341.) 



**) Sophus Lie, Allgemeine Untersuchungen über Bifferentialgleichungen, 

 die eine continuirliche endliche Gruppe gestatten. Math. Ann. Bd. 25, S. 71 — 151. 

 Vgl. auch Gesellsch. d. Wiss. zu Christiania 1882, Nr. 10 u. 21. 

 ***) Math. Ann. a. a. 0. S. 124—130. 



