Systeme von Differentialgleichungen mit Fundamentallösungen. 801 



Handelt es sich um die Inteqration einer Differentialgleichung: Integration 



r mit i'unda- 



, . V df '^^ montallOsgn. 



(41) ^+2/^X^)X,/=0, 



1 

 bei der die 



n 



(42) Xjf=^ii,{x,..x^)lL 



1 » 



eine r-gliedrige Gruppe erzeugen, oder um die Integration des äqui- 

 valenten Systems 



(43) ^' = Z, {z)Ui{x) + • • + Zr{z)iri{x) 



so können wir s als die Zeit, x^. . Xn als gewöhnliche Punktcoordi- 

 naten in einem Räume jR„ von n Dimensionen deuten. Jedes Lö- 

 sungensystem 



(44) Xi=^(pi{2) (^=l, 2..W) 



giebt alsdann die Bahn eines Punktes. Gehen wir von einem Punkte 

 {x^^ . . Xn) zur Zeit z^ = Zq aus, so wird er vermöge (48) eine Curve 

 durchlaufen. Hat er im Momente s die Lage {x^ . . x^ erreicht, so 

 wird er nämlich im nächsten Zeitelement dz die Bewegung: 



dXi = iZ,{z)^u(x) -f • • + Zr(z)l,ix))d0 



{i= 1,2. .n) 



erfahren. Es wird also auf den Punkt zur Zeit s im nächsten Zeit- 

 element dz die infinitesimale Transformation 



Yf=^^Zj{z)Xjf 



ausgeführt, die der Gruppe X^/" . . X^/" augehört, da z die Rolle einer 

 willkürlichen Constanten spielt. Das Integrationsproblem deckt sich 

 also damit, dass die Endlage {x^ . . Xn) eines Punktes zur Zeit z ge- 

 funden werden soll, der zur Zeit Zq die Lage (x.^^ . . x^^) hatte und 

 einer fortwährend sich ändernden infinitesimalen Transformation Uf 

 der Gruppe X^f . . Xrf unterworfen wird. Diese infinitesimalen 

 Transformationen erzeugen eine endliche Transformation der Gruppe 



XJ.. Xrf. 



Wir können auch von folgender Deutung Gebrauch machen: 

 Xi..Xn, z seien gewöhnliche Punktcoordinaten in einem Räume Bn+i 

 von w -}- 1 Dimensionen, z = Const, stellt eine Schar von oo' ebenen 

 Mannigfaltigkeiten M„ dieses Raumes dar. Jedes Lösungensystem (44) 



Lie, Continuierliche Gruppen. .51 



