802 Kapitel 24, § 4. 



^c™^" definiert eine Integralcurve im Bn+x, die mit jeder M,, einen Punkt 

 gemein hat. Die Punkte der oo^ M» sind hierdurch einander zugeord- 

 net und zwar die Punkte (z) und {z + dd) zweier unendlich benach- 

 barter Mn durch die infinitesimale Transformation üf, die Punkte irgend 

 zweier Mn durch endliche Transformationen der Gruppe XJ. . Xrf. 

 Es handelt sich darum, diese Zuordnung aller M» in endlicher Form 

 auszudrücken, denn kennen wir sie allgemein, so sind alle Integral- 

 curven als Örter entsprechender Punkte bekannt. 

 reMe^Man- ^^^ ^^^^^ ^^u lutegralcurven erzeugte Mannigfaltigkeit, eine integrie- 

 ^IftoillSr^^^^^ MannigfaltigJcmt M, von vornherein heJmnnt, so schneidet sie jede 

 Mn in einer gewissen bekannten Mannigfaltigkeit fi. Diese (i ent- 

 sprechen einander in den verschiedenen Jf„. Wenn nun eine ^ keine 

 infinitesimale Transformation der Gruppe X^f . . Xrf gestattet, so giebt 

 es auch nur eine discrete Anzahl von Transformationen der Gruppe 

 Xj^f. . Xrf, die eine ^ in eine andere fx überführen. Dann also ist die 

 Zuordnung zweier beliebiger Mn bekannt und die Integration durch 

 ausführbare Operationen ohne jede Quadratur geleistet. 



Anders verhält es sich, wenn eine (i infinitesimale Transforma- 

 tionen der Gruppe X^f..Xrf zulässt. Alsdann wird man darauf 

 ausgehen, die auf M gelegenen lutegralcurven zu bestimmen. Dies 

 führt bei Einführung geeigneter Coordinaten für jede Schnittmannig- 

 faltigkeit ft auf ein System von Differentialgleichungen analog (43), 

 aber in weniger Veränderlichen. Dabei kommt alsdann nur noch die 

 Untergruppe von X^f . . Xrf in betracht, die eine ft in sich trans- 

 formiert. 



Beispiele. Beispiele hierzu enthält der vorige Paragraph. Zum Schlüsse 



wollen wir noch einige andere Beispiele kurz andeuten. 

 1. Beispiel: Liegt die Differentialgleichung 



H + Z,{d)p -f Z,{z)g_ + Z,{z) {yp - xq) = 

 in X, y, z vor, so ist die Gruppe 



XJ=p, XJ=q, XJ=yp - xq 



die Grtippe der Bewegungen in der (xy)- Ebene. (Vgl. § 3 des 4. Kap.) 

 Sind X, y, gewöhnliche Punktcoordinaten im Räume, so sind die 

 Mn hier die Ebenen z = Const. Jede Ebene = Const. ist auf jede 

 andere Ebene = Const. durch eine Bewegung bezogen. Die einzigen 

 ebenen Curven, die Bewegungen gestatten, sind die Geraden und Kreise. 

 Sobald also eine Integralgleichung 



F(x, y, 0)^0 



