Systeme von Dift'erentialgleichungen mit Fundamentallösungen. 803 



als bekannt vorliegt derart, dass sie für z = Const. weder eine Gerade 

 noch einen Kreis vorstellt, so ist die Integration ohne weiteres geleistet. 

 Sind zwei particulare Lösungensysterae 



gegeben, so ist die Integration ebenfalls geleistet, denn sie stellen 

 zwei Curven dar, die jede Ebene z = Const. in zwei Punkten treffen. 

 Da bei Bewegungen die Entfernungen ungeändert bleiben, so ist also, 

 wenn x, y ein allgemeines Lösungensystem bedeutet, für jedes z not- 

 wendig 



{x — (pj' + (y — tif = Const., 



(x — (p^y + (2/ — ^27 = Const., 

 und hieraus lassen sieh x und y berechnen. 



2. Beispiel: Liegt die Differentialgleichung 

 ^-^- + Z^ {z) {x,p^ — x^p.,) + Zj {z) {x^p, - x^p.,) + Z3 (s) {XJK,— x,pi) == 



vor, so deuten wir x^, X2, x.^, z als Coordinaten eines ü^. = Const. 

 definiert eine ebene dreifach ausgedehnte Mannigfaltigkeit M.^. Die 

 lutegralcurven ordnen die Punkte dieser 00^ M^ einander zu und zwar 

 vermöge der Transformationen der Gruppe der Dotationen um den 

 Anfangspunht 



^iP-6 ^zP'lJ ^sPl ^llh) ^llh ^2Ä 



im dreifach ausgedehnten Baume. Die Punkte x^ = x^ = x.^ = der 

 J/g sind einander zugeordnet, d. h. x^ = X2 = x^ = ist ein parti- 

 culares Lösungensystem. Wenn ferner 



{i = 1, 2, 3) 

 drei particulare Lösungensysteme und x^ X2, x^ ein beliebiges Lösungen- 

 system sind, so ist, da auch diese Gruppe der Rotationen die Entfer- 

 nungen ungeändert lässt, 



{x^ — cpiY -f {x.^ — ^if + {x.^ — xO^ = Const. 

 (i=l, 2, 3), 



und hieraus lässt sich das allgemeine Lösungensystem x^, X2, oc^ 

 berechnen. Die Gruppe der Rotationen um den Anfangspunkt lässt 

 die Kugeln um diesen invariant. Daraus schliessen wir: Der Kugel 



Xi ~r 3^2 r '^3 '^^ ^ 

 in einer Mg entspricht in jeder M^ eine Kugel mit derselben Glei- 

 chung. Mithin ist 



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