— Gleichungen und Proportionen — 13 



16 [27]. Vie ^leichung^en eristen Cirades« 



Lässt sich eine Gleichung-, nachdem man (15) Brüche, 

 Bruchpotenzen, etc., weggeschafft, und die eine Seite 

 auf Null gebracht hat, nach den Potenzen der Un- 

 bekannten ordnen, so heisst sie algebraisch, und die 

 höchste Potenz bestimmt ihren Grad, — lässt sie sich 

 nicht ordnen, so heisst sie transcendent. So ist jede 

 Gleichung, welche sich auf die Form 



ax -f- b — bringen, somit durch x = — b : a 

 auf eine Gleichheit reduzieren lässt, eine algebraische 

 Gleichung ersten Grades, und der angegebene Wert 

 von X stellt ihre einzige und reelle Wurzel dar. 



17 [21]. Die Terliältnisse und Pro- 

 portionen. Ist a — b = m und a : b — - n , so nennt 

 man m das arithmetische, n das geometrische Verhältnis 

 der Grössen a und b; durch Gleichsetzung zweier 

 entsprechenden Verhältnisse aber erhält man eine sog. 

 Proportion. Vier Zahlen bilden daher eine arithmetische 

 Proportion 



zu wie zu 



a • b : c • d wenn a-j-d = b-|-c 1 



eine geometrische Proportion 



zu wie zu 



a : b : : c : d wenn axd = bxc Z 



und sind von den 4 Zahlen dreie bekannt, so lässt 

 sich die vierte durch Auflösung einer Gleichung ersten 

 Grades finden. Beide Proportionen heissen stetig, wenn 

 die Innern Glieder gleich oder (11) Mittel der äussern 

 sind. — Aus 2 folgen 



a : c : : b : d, b : a : : d : c, a : bm : : c : dm, 



(a + b):b::(c + d):d 3 



Ist ferner e : f : : g : h, so verhält sich auch 



ae : bf : : cg : dh und wenn a : c : : (a — b) : (b — c) 4 

 so nennt man b harmonisches Mittel zwischen a und c 



