14 — Gleichungen und Proportionen — 



IS [29]. Hie <Hleichangen zweiten €rra- 



des. Jede Gleichung- zweiten Grades lässt sich auf 



die Form 



x-2 + 2ax + b = 



bringen, und hieraus folgt 



x2H-2ax + a2==a2 — b oder x = — a + yä/^"^"lb 



Sie hat somit zwei reelle, gleiche oder imaginäre 



Wurzeln, je nachdem a"^ > , =, <b; —2a ist gleich 



der Summe, -p b gleich dem Produkte beider Wurzeln. 



19 [29]. Die Crleieliiingreii dritten <i}ra- 



des. Setzt man in der Gleichung 



x3 4- ax2 4- ßx -f Y = 1 



successive x = y — Va«» ^,3 a'^ — ß = 3a, Va^ß — ^'27°^^ — 



— Y = 2b, y = u + a:u und u^ = z, so ergeben sich 



y3 — 3ay — 2b = 3 



7} — 2bz + a3 = » 



womit die Reduktion auf den zweiten Grad erfolgt 



und (18) die sog. Cardanische Formel 



3 3 ^ 



y =y b + \iv^2j^ + y b — i/b^ — ^ 4 



erhältlich ist, welche für b- > a^ eine reelle, für 

 b-<a3 aber scheinbar nur eine imaginäre Wurzel er- 

 giebt, während gerade im letztern Falle (vgl. 101) y 

 sogar drei reelle Werte hat. 



30 [30—32]. l^ie Cileichung^en höiiern 

 Cirades. Jede algebraische Gleichung besitzt, wie 

 Gauss, Cauchy, etc. nachgewiesen haben, eine Wurzel 

 der Form a=a + bi, und lässt sich somit durch 

 (X — a) ohne Rest teilen. Es hat also jede Gleichung 

 vom Grade n notwendig auch n Wurzeln, unter denen 

 aber paarweise imaginäre vorkommen können. Zur 

 Auflösung höherer numerischer Gleichungen dient wohl 

 am besten die sog. Regula Falsi (132). 



