16 — Gleichungen und Proportionen — 



q, qj . . . Quotienten , r, rj . . . Eeste sind , die Hülfs- 



^leichungen 



X = (c — by) : a = q, — q, y + p, wo p, = (r, — r^ y) : a 



y = (r, — ap,) : r.^ = qg — q^ p, -f- p, p^ = (rg — 14 p,) : ig 



p, = (rg — ra P3) : r4 etc. 

 Setzt man diese Operation fo^'t, bis ein Best r2h = l 

 wird, so werden offenbar für jeden beliebigen ganzen 

 Wert von p^ alle frühem p, sowie x und y ebenfalls 

 g-anze Zahlen, und man erhält somit im allgemeinen 

 unendlich viele Auflösungen, — in speciellen Fällen 

 jedoch, wo z. B. nur positive Werte von x und y Be- 

 deutung haben können, vielleicht auch gar keine. 



33 [32]. Transcendente €rleichnn|s;en. 

 Einzelne transcendente Gleichungen lassen sich auf 

 algebraische zurückführen ; so z. B. können namentlich 

 manche sog. Exponentialgleichungen, d. h. Gleichungen, 

 bei denen die Unbekannte als Exponent erscheint, 

 durch Gleichsetzen der Logarithmen beider Seiten 

 oder sog. Logarithmieren auf Gleichungen vom ersten 

 Orade reduziert werden (vgl. 26, 27) ; alle numerischen 

 transcendenten Gleichungen aber sind mit Hülfe der 

 Eegula Falsi (132) löslich. 



34 [27]. Ansatz der Gleiehungren. Um 

 die in einer Aufgabe ausgesprochenen Beziehungen 

 zwischen Bekannten und Unbekannten durch Gleich- 

 ungen auszudrücken, denkt man sich Letztere eben- 

 falls als bekannt, und rechnet mit ihnen, wie wenn 

 man ihre Richtigkeit prüfen wollte. Stellen z. B. t und 

 T die Zeiten vor, in welchen zwei Punkte einen Um- 

 lauf vollenden, und x die Zeit, in welcher der erstere 

 den andern je einmal überholt, so ist 



x:t==:l + T:T d.h. T = T.t:(T — t) 

 t = T • X : (T + '^) 



