18 — Progressionen und Kettenbrüclie — 



a (1 + p) den Wert des Kapitals nach einem Jahre und 

 somit a (1 -f p)" den Wert nach n Jahren vor. Ist 

 ausserdem b eine jährliche Zulage , und a^ der Wert 

 des Ganzen nach n Jahren, so ist (26) 

 a„ == a (1 -f p)" + b (1 + P)"-' + b (1 + p)"-- + . . . + b 

 = (a + b : p) . (1 + p)" - b : p 1 



und hieraus folgt durch Logarithmieren 



n = [Lg (b + P . aj - Lg (b + pa)] : Lg (1 + p) S 

 Ist a„ = und b negativ , so erhält man für die sog. 

 Rentenrechnung (40), wo a das eingelegte Kapital und 

 b die Rente bezeichnet, 



^ (l+p)"-l , p (1 4- p)" Lgb-Lg(b-ap) 



' = ' TITTpr' '^' (lTpr=l' '^ ""Lg(l + p) * 

 Ist überdies b = a(p + q), d.h. will man ein Kapital 

 mit Hülfe eines stärkern Zinses amortisieren, so wird 



n = [Lg (p + q) — Lg q] : Lg (1 + p) 

 und q = p : [(1 + p)" - 1] 4 



3S [20j. Die Ketteiibruche. Wird ein echter 

 Bruch B : A auf die Form 



1 : (q, + 1 : (q, + 1 : (qa + • • •))) = 1 : [qi, q., üa, • • •] 

 gebracht, so heisst er in einen Kettenbruch verwandelt ; 

 die einzelnen Brüche 'q,, 'qa»--- heissen Ergänzungs- 

 brüche, der Wert B„ : A^ aber, auf den sich der Ketten- 

 bruch bei Vernachlässigung der dem n*''" folgenden 

 Ergänzungsbrüche reduciert, n'*"" Näherungsbruch. 

 29 [20]. Die Käheriingrsbrüche* Da 



A = ^ A = l Ä = 1 ^ B, qa+B^ 



Ao ~~ 1 A, q, A.2 qi + 1 : q.> A. q., -f A^ 



B3 _ B^q3 -f B, ^n _ ^n-l • % + B^__3 



A3" " A^qg + AT Ä„ ~ A„_, . q„ + A„_2 



