26 — Lehre von den Reihen 



d. h. die Exponentialreihe. 



49 [39]. Uie lograrithmische Reihe. Ist 



a'' = y oder x = Lg. y 1 



so erhält man durch entsprechende Entwicklung 



A . Lg. y = (y - 1) - ^ , (y - l)^ + Va (y - D^ - . • • 3 

 d. h. die logarithmische Reihe. 



4S [39]. Wie iiatürliclien liOgrarithmen. 



Für X = Va giebt die Exponentialreihe 46 : 2 



,a'/v = 1 + 1 + J^ -f ^p-|-^ + ...= 2,71828 18285 = e 



Für A = 1 wird somit a = e , und heisst dann Basis 

 der natürlichen Logarithmen. Bezeichnet man daher 

 letztere mit Ln, so hat man (46, 47) 



Ln y = (y - 1) - '/, (y - 1)'^ -f- 1 3 (y _ 1 )3 _ . . . 3 

 A = Ln a Ln y = A • Lg y 3 



a^ = 1 + X . Ln a 4- j^ (Ln a)2 + j^ (Ln a)^ + . . . 4 



oder , wenn in 4 successive x = 1 und a = x gesetzt 

 wird, 



X = 1 + Ln x + j~2 (Ln x)"^ + ^ J 3 (Ln x)3 + . . . 5 

 Für y = 1 + z erhält man nach 2 successive 



Ln(l±z) = + z --tz'+-3-z-^--4-z* + --- * 

 Ln l-'tA = 2 I z + ^ z^^ 4- 4- z' + . . . I » 



= 2[z + i-z3 + ]-z^ + ...] 



