— Differential- und Integralrechnung — 33 



Nimmt man an, die Zunahme n.Ax, welche x erhält, 

 Avährend y in y^ übergeht , habe einen konstanten 

 Wert h , d. h. die Zahl n nehme , während Ax ohne 

 Aufhören kleiner werde, in gleichem Verhältnisse zu, 

 so erhält man , da (1 — 1 : n) , (1 — 2 : n), . . . sich der 

 Grenze 1 nähern, die nach Taylor benannte Reihe 



m + h) = . + A.^. + _^..^^ + ... ^ 



= f (X) 4- \ ^' (^^ + 1^2" ^" (^^ + • • • 



wo die sog. zweite Ableitung f" (x) ebenso aus f (x) 

 hervorgeht, wie diese aus f (x), etc. Entsprechend 

 findet man 



f(x + h,y + k)=:f(x,y) 



h df k df 

 1 ■ dx "^ T ' dy "^" 

 1 i^ d^ hk d^f k^ d^ 



~^i-2'clx^"^ 1 'dx-dy + l-ä'dy^"^ 



61 [43]. l^ie Haclaurin'fsche Reihe und 

 die Iiag;rang:e'sciie Reverj^ionsformel. 



Setzt man in der Taylor'schen Eeihe x = und be- 

 zeichnet durch f (0), f (0), ... die entsprechenden Werte 

 von f(x), f (x), ... so erhält man, wenn schliesslich h 

 mit X vertauscht wird, die sog. Maclaurin'sche Reihe 



f (x) = f (0) + X f (0) + % x-^ f" (0) + . . . 1 



und mit ihrer Hülfe, wenn 



u = 4^ (y) y = w 4- X • cf (y) d<\> (w) : dw = z 9 

 ist, die von Lagrange aufgestellte Reversionsformel 



u = c{; (w) + X [q: (w) • zj -f \, x« d [cp (w)'^ • z] : dw + 



+ Ve x3 d'^ [cp (w)' • z] : dW^ + . . . 3 



über deren Anwendung namentlich 416 zu vergleichen 

 ist. 



Wolf, Taschenbuch 3 



