34 — Differential- und Integ-ralrechnung- — 



63 [44]. lIiibeNtimiiite Aiifidrücke. — Da 



nach 60 



f (X -^ h) ^ f(x)-|- Iif^(x)4- \ih'{"{x)-^... 



F (X -i- h) ~ F (X) -f h F' (X) + ';, h« F" (x) ^ . . . 

 so hat man , wenn für x = a sowohl f (x) als F (x) 

 gleich Null werden, für ein unendlich abnehmendes h 

 f (a) __ _ J'(a + h) _ f_(a) 

 F(a) ~" "" F (a + h)" ~ F' (aj 

 Sollten auch f (a) und F'(a) Null werden, so würde der 

 Quotient der zweiten Ableitung- an die Stelle treten, 

 etc.; würde dagegen nur f (a) oder nur F' (a) Null, so 

 hätte f(a):F(a) den Wert oder oo; etc. 



63 [44]. illaiKLiniuiu und jfliniinuin. Offen- 

 bar nimmt f (x) für jeden Wert von x, dessen Nachbar- 

 werte zu beiden Seiten entweder beide Abnahme oder 

 beide Zunahme von f(x) bedingen, ein Maximum oder 

 ein Minimum an. Da nun eine Grösse h immer so 

 klein angenommen werden kann, dass ein mit einer 

 Potenz derselben behaftetes Glied über die Gesamtheit 

 der Glieder mit hohem Potenzen dominiert, so folgt 

 (60), dass für. jeden Wert von x, der f (x) = macht, 

 f (x) ein Maximum oder Minimum annimmt, je nachdem 

 für denselben Wert von x die zweite Ableitung f" (x) 

 ein negatives oder positives Vorzeichen erhält. 



64 [45]. lteg:rifr der Integ^ralrecliiiun^. 

 Ist y = F (X) und dy : dx =:: f (x) , d. h. ist f (x) dx das 

 Differential von F (x) , so nennt man umgekehrt F (x) 

 das Integral von f (x) dx. Das Operationszeichen des 

 Integrierens ist /, und es besteht somit die Gleichheit 



/f(x)-dx = F(x) + Const. 1 



wo Constans beigefügt worden, da (56) beim Differen- 

 zieren konstante Glieder wegfallen. So z. B. erhält 

 man (56, 57) 



