36 — - Differential- und Integralrechnuno- — 



(''a-fßx— yx2 Yy [^4ay-hß2 



dx 1 



, =r=rr— = — Ln[2YX+ß^2VT]^a+ßx+TX"']4-C. lO 



l/a+ßx+yx' {/y 



66 [46]. Intes:ration durch Zerleg^ungr 

 oder Auflöiiung: in Reihen. Ist y=/(X:X')dx, 

 wo X und X' ganze rationale Funktionen von x 

 sind, ferner der höchste Exponent von x im Zähler 

 kleiner als der im Nenner sein, und Letzterer die 

 reellen binomischen oder trinomischen Faktoren (a + 

 bx)"", (c + dx), (a -f ßx + yx-) . . . haben soll, so kann man 

 X ^ A ^ B ^ ^ M +Nx 



X' (a+bx)"' (a+bxf-' '"'^c + dx'^*"'^ a+ßx+yx'^"^"' 

 setzen, die unbestimmten A, B,... ermitteln, indem 

 man beidseitig die Nenner wegschafft, und dann y 

 gleich der Summe der Integralien dieser mit dx 

 multiplizierten, sog. Partialbrüche setzen. In ähnlicher 

 Weise kann man durch Auflösung in Pteihen vorgehen. 



67. Integ^ratlon darch Rekursion. Setzt 

 man z. B. in 64 : 3 



m — 1 



so erhält man die Rekursion 



/Si"" cp • Co" 9 . dcp = - Si""-' 9 • 00*^+ ' cp : (m 4- n) + 



+ (m — 1) : (m + n)/Si'"-^ qj • Co" cp • dcp 1 



und auf ähnliche Weise findet man 

 /cp™ . Si cp . dcp == — 9"" . Co qj + m/qj™-' • Co cp • dq) 

 fcp"" . Co q: . dcp = cp"^ . Si qj — m/cp"-' • Si q^ • dcp 



68 [46]. Terschiedene Integrralformeln. 



Ferner kann man durch beidseitige Differentiation 

 leicht verifizieren, dass 



