— Geometrische Vorbegriffe — 43 



sammenfallenden Geraden betrachtet werden. Im n-Ecke 

 finden sich zu jeder Ecke (n — 3) mit ihr nicht in 

 einer Seite liegende, sog. Gegen-Ecken, und es können 

 dalier in demselben [.^n (n — 3) sog. Diagonalen, ge- 

 zogen werden. Im n-Seite, avo jeder Durchschnitts- 

 punkt Ecke heisst, giebt es dagegen zu jeder der 

 e = ^2 n (11 — 1) Ecken , g = \ ., (n — 2) (n — 3) Gegen- 

 ecken und d — ^^ e • g Diagonalen Die Anzahl der 

 durch n Gerade oder n Punkte bestimmten n-Ecke 

 endlich ist '/, • [n — 1]. 



50 [54]. »ie. Winkelsumme. Die Winkel- 

 summe eines n-Ecks wird offenbar gefunden, indem 

 man (78) für jede konkave Ecke 2 E, für jede konvexe 

 Ecke 6 E in Rechnung bringt, und für jede Umdrehung 

 4 R abzieht. Bezeichnet somit p die Anzahl der kon- 

 vexen Ecken, und r die der Umdrehungen, so ist die 

 Winkelsumme 



P„ (P, !•) = 2 (n + 2p - 2r) R 



51 [54]. JLiizahl und Kinteilung: der 

 n-£eke» Unterscheiden sich zwei n-Ecke in ihrer 

 Erzeugung nur durch den Sinn, in welchem sich die 

 Gerade dreht, so genügt es, dasjenige zu betrachten, 

 das die geringere Anzahl konvexer Ecken hat. Da 

 ferner ein konkaver Winkel immer zwischen und 2 R, 

 ein konvexer zwischen 2 R und 4 R enthalten sein 

 muss, so ist notwendig '/•> (n + P) > i"? sowie ' ', p < r, 

 und für p = 1 muss mindestens r = 2 sein, damit die 

 Figur zum Schlüsse kommen kann. Es lässt sich 

 hieraus durch Induktion ableiten, dass, wenn n gerade 

 ist, 'A (n- — 4) n-Ecke, und wenn n ungerade ist, V4 

 (n- — 5) n-Ecke möglich sind. Diejenigen n-Ecke, für 

 welche r — p = 1 und daher P^ (p, r) = 2(n — 2) R ist, 

 heissen gemein, die andern sind ohne Ausnahme über- 



