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Analytische Geometrie der Ebene 



A = x- 



kf (x) 



B-f(x)-h 



R = 



k^/^ 



y+Ay 



f"(x) " ''"' ' f"(x) f"(x) 



Der Ort der Krümmungsmittelpunkte einer Kurve 

 lieisst Evolute, — diejenige Kurve, welche eine gegebene 

 Linie zur Evolute hat, Evolvente derselben. 



140 [71]. l>ie f^uadratur. Betrachtet man 



^ die von zwei, den Abscissen x 

 und X + Ax entsprechenden Or- 

 dinaten y und y + Ay, der Kur- 

 ve und der Abscissenaxe ein- 

 geschlossene Flcäche als Flächen- 

 element, so hat man 

 y • Ax < A F < (y ^ A y) A x 



also d f = y • dx und entsprechend d f = V 2 1'' • ^^ ^" für 

 das von r , r -f Ar und der Kurve eingeschlossene 

 Flächenelement, so dass, wenn a, b die Grenzwerte 

 von X, und a, ß diejenigen von v bezeichnen, 



b ß 



f =Jy . dx und f = 2 /i'' • ^^^' 



a a 



Die zur sog-. Quadratur geforderte Integration wird 

 mechanisch durch Umfahren mit den sog. Planimetern 

 von Gonella-Oppikofer, Amsler, etc. erhalten. 



141 [71]. l*ie Kektifikation. Für das Bogen- 

 element As hat man (s. Fig. 140) ae < As < ad -f de 

 also, wenn Tg- cp = dy : dx = p und dr : dv = q ist 



b ß - 



ds 

 dx 



Vi -[- p^ oder s = f (^1 +^p^- dx = j'Vr^^V'' dv 

 a a 



14a [74]. l>ie Ellipse. Sucht man eine Reihe 

 von Punkten m auf, welche von zwei gegebenen Punk- 

 ten Fl und F^ dieselbe Distanzensumme r, -f r^ = 2a 



