— Vierflach und Vielflach — 87 



Ist (wie bei dem abgekürzten Tetraeder^ F cxo q cvo f, 

 so wird (107) 



q = i/^[f-l-2| Ff + F] und V= »3h(f-M'Ff-f F)l 

 oder wenn F und f Kreise der Eadien H und r sind, 

 q = 1 ^ 7t (r-^ + 2Er-rK-2) und V= Vs h?: (r^4-Er-f R^) Z 



XVIII. Das centrische Vielflach und die 

 Kugel. 



181 [84]. »er Ealer'sche Satz. Bezeichnet 

 k die Anzahl der Kanten eines Polyeders, f=f3 4- 

 fj r • . . die Anzahl seiner Flächen und e = e3 + 64 + • • • 

 seiner Ecken, so ist offenbar 



3f3 -f 4f4 4- Sfj + . . . = 2k = 3e3 4- 4e, + 5e, -f . . . 1 

 und wenn jede seiner Flächen der Form (0, 1) ange- 

 hört, d.h. dasselbe konvex ist, so besteht die nach 

 Euler benannte Beziehung 



e4-f = k + 2 Z 



Es lässt sich daraus ableiten, dass es nur fünf Arten 

 von Polyedern giebt, bei welchen alle Flächen dieselbe 

 Seitenzahl und alle Ecken dieselbe Kantenzahl be- 

 sitzen, nämlich: Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder 

 aus Dreiecken, Hexaeder aus Vierecken und Dode- 

 kaeder aus Fünfecken. 



188 [84]. Mie regrelniäissig^en l'olyeder. 



Ist ein Vielflach centrisch nach den Ecken oder Kanten, 

 so ist (156, 158) auch jede seiner Flächen centrisch 

 nach den Ecken oder Seiten; ist es centrisch nach den 

 Seiten, so halbiert (158, 91) jede durch den Mittelpunkt 

 und eine Kante gelegte Ebene den zugehörigen Viel- 

 flachwinkel. Wenn endlich, was aber (181) nur bei fünf 

 Vielflachen zutreffen kann, derselbe Punkt in allen drei 



