96 — Analytische Geometrie im Eaume — 



punkt selbst steht (89, 83) um ^ \^ der Schweraxe von 

 der Gegenecke (Spitze) ab, und hat eine dem Volumen 

 proportionale Konstante. 



197 [97]. Die Flächen zweiten €irade.«>. 



Eine Fläche zweiten Grades wird durch die Gleichung- 



ax2 4- by« + cz« + 2dxy + 2exz + 2fyz -f 



+ 2g-x -f 2hy + 2kz + 1 = 1 



geg-eben und daher durch 9 Punkte bestimmt. Setzt 

 man x = x' -\- cc, j^ = y' -j- ß, z = z' + T» ^^^^l bestimmt 

 a, ß, Y so, dass 



aa + dß + ey -h g = bß -f da -f f y + h -= 



= CY + ea + fß + k = 3 



so geht 1 in die Gleichung 



ax'2 -f by'2 + cz'2 + 2dx' y' 4- 2ex' z' + 2fy' z' + m = 3 

 über, in welcher nur gerade Dimensionen der Koor- 

 dinaten vorkommen, so dass ihr auch der Punkt 

 ( — x', — y', — z') genügt, oder die Fläche einen Mittel- 

 punkt hat. Setzt man in 3 



X = Az -4- B y = Cz + D 4 



so erhält man für die Durchschnittspunkte dieser Ge- 

 raden und der Fläche zweiten Grades eine Gleichung 

 zweiten Grades , deren halbe Summe der Wurzeln für 

 die Mitte der entsprechenden Sehne 



_ _ aAB + bCD + d (AD + BC) -f- eB + f D 

 ^~ aA-^-f-bC2 + c-f-2dAC + 2eA-f 2fC 

 giebt. Eliminiert man B und D aus 4 und 5, so wird 

 x(aA 4- dC -f e) -f y (dA -f bC 4-f) -f- z (eA -f fC -|- c) = 6 

 d. h. der Ort der Mitten aller parallelen Sehnen ist 

 eine durch den Mittelpunkt gehende oder diametrale 

 Ebene, in Beziehung auf welche diejenige der parallelen 

 Sehnen, welche durch den Mittelpunkt geht, konjugierte 



