104 — Methode der kleinsten Quadrate — 



309 [52]. Theorie der Fehler bei in- 

 direkten Bestiniinungen. Ist eine Grösse t 



nacj^i 



t = a + Rj t, -f a^ t^ + . . . -f a,j t„ 1 



aus beobachteten Grössen tutg... der Fehler f, jf^ ... 

 und Gewichte Pi , p^ • . . zu berechnen , so hat man 

 offenbar ± f = ± aj f, + a^ fj ± . . . 



also im Mittel 



f2 = 2"(a2fO oder l:p = 2'(a-:p) » 

 und den allgemeinern Fall, wo 



t = f(t,,t„...tj 3 



also 



-=e)-. + ©-^ + ••■ + (©-» - 



ist, kann man darauf zurückführen, indem man in die 

 partiellen Differentialquotienten die beobachteten und 

 berechneten Werte und für die dt die f einsetzt. 



210 [52]. Die iiber^chHiBisis:en Crleich- 

 ung^en. Ist m < n, und hat man n Gleichungen der 

 Form 



ax -f by + cz + . . . + h = t 



zwischen m Unbekannten x , y , z , . . . und gewissen 

 durch Beobachtung erhaltenen a, b, . . . , so werden 

 keine Werte von x, y,... allen diesen Gleichungen 

 vollkommen genügen, sondern durch Substitution irgend 

 solcher Werte nur auf 



ax + by -f cz -[-••. + h = f 9 



reduzieren, wo die f kleine, von den Beobachtungs- 

 fehlern abhängige Grössen sind. Quadriert und addiert 

 man letztere Gleichungen, so erhält man 



x^ Isi^ + y- J^h-^ + z2 2'c- 4- . . . + 2xy 2'ab + 



+ 2xz yj'dc + . . . -f 2x 2'ah + 2y 2'bh -f . . . = 2'f^ » 



