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Hieraus sieht man, dass JEm^f fur den Schwerpunkt ein Minimum ist, und dass 

 diese Grosse proportional dem Quadrate der Entfernung vom Schwerpunkt 

 wachst; ^ r m i r] wird daher einen constanten Werth annehmen fiir alle Punkte, 

 die auf der Oberflache einer um den Schwerpunkt als Mittelpunkt beschriebenen 

 Kugel liegen. Ein ahnlicher Satz gilt fiir die Ebene, wo der geometrische Ort 

 der Punkte, fiir welche ^m^l constant bleibt, ein Kreis ist. 



Die Formel (6.) konnen wir auch selbstandig beweisen. In der That 

 verriicken wir unser friiheres ganz beliebiges Coordinatensystem parallel mit sich 

 selbst, so dass der neue Anfangspunkt der Coordinaten in den Schwerpunkt 

 fallt, und bezeichnen in dem neuen Coordinatensystem die Coordinaten unserer 

 n materiellen Punkte mit ,, ^, ^: 2 ? ^. 2 , 3 ; ... , ij n , ,, so haben M r ir 

 fiir jedes i 



wo A, B, C als Coordinaten des Schwerpunkts durch die Gleichungen 

 Sm. = M. 2m.x. = MA, 2m.y. = MB, 2m.z. = MC 



I II \O i 11 



definirt werden. Daher ist 



2m. r? = 2m. x*. -\-^m.ii^.-}-2m.z^ 



Nun ist aber 



MA = 2m.x. = 2m.%.-{-2m..A = 2m. %. -\-MA, 

 daher 



ebenso 



5m. 

 Hierdurch erhalten wir 



iibereinstimmend mit Formel (6.). 



Eine ahnliche Formel ergiebt sich fiir die Differentiale. Aus unseren 

 bisherigen Formeln namlich finden sich die Differentialformeln 

 dx. = dg.-i-dA, dy. = d^.-+-dB, dz. = d.-\-dC, 



2m.d$. = 0, 2m.dij. = 0, 2m.d. = 0, 

 und hieraus erhalt man 



