Nothwendigkeit, die partiellen Differentialgleichungen zu studiren; aber seit 

 30 Jahren*) hat man sich nur mit den linearen partiellen Differentialgleichungen 

 beschaftigt, wahrend fur die nicht linearen nichts geschehen ist. Fiir drei 

 Variablen hat bereits La grange das Problem absolvirt; fur mehr Variablen hat 

 Pfctff eine zwar verdienstliche aber unvollkommene Arbeit geliefert. Nach Pfa/ 

 muss man zur Losung der partiellen Differentialgleichung zunachst ein System 

 von gewohnlichen Differentialgleichungen integriren. Nach Integration derselben 

 hat man ein neues System von Differentialgleichungen aufzustellen, welches zwei 

 Variablen wenisjer enthalt, dieses wiederum zu integriren u. s. w. , und so ge- 



O J O O 



langt man endlich zur Integration der partiellen Differentialgleichung. Hiernach 

 hatte also Hamilton durch seine Zuriickfuhrung der Differentialgleichung der 

 Bewegung auf eine partielle Differentialgleichung das Problem auf ein schwie- 

 rigeres zuruckgefiihrt; denn nach Pfaff erfordert die Integration einer partiellen 

 Differentialgleichung die Integration einer Reihe von Systemen gewohnlicher 

 Differentialgleichungen. wahrend das mechanische Problem nur die Integration 

 eines Systems gewohnlicher Differentialffleichunffen erfordert. Es war daher hier 



/ O O O 



die umgekehrte Zuriickfuhrung von grosserer Wichtigkeit, wonach eine partielle 

 Differentialgleichung sich auf ein einziges System von Differentialgleichungen 

 zuruckfuhren lasst. Das erste Pfaffsche System stimmt namlich mit dem, auf 

 welches die Mechanik fiihrt, iiberein, und es lasst sich nachweisen, dass die 

 iibrigen Systeme alsdann entbehrt werden konnen. So wie in diesem Falle 

 kehrt sich die Zuriickfiihruno; eines Problems auf ein anderes sehr hauno; um, 



o o * 



indem der Fortschritt der AVissenschaft das Erste zum Zweiten macht und um- 

 gekehrt. Das Wichtige in solchen Zuriickfiihrungen ist der Zusammenhang, der 

 zwischen zwei Problemen nachgewiesen wird. Der in Rede stehende Zusammen 

 hang lasst erkennen, dass jeder Fortschritt in der Theorie der partiellen Diffe 

 rentialgleichungen auch einen Fortschritt in der Mechanik herbeifuhren muss. 



Ein tieferes Studium der Differentialgleichungen der Mechanik zeigt, dass 

 die Anzahl der Inteorationen sich immer auf die Hiilfte zurtickfiihren lasst. 



O # 



wahrend die andere Halfte durch Quadraturen ersetzt wird. Es giebt ein merk- 

 wiirdiges Theorem, welches zeigt, dass ein qualitative!- Unterschied zwischen 

 den Integralen stattfindet. Wahrend namlich einige Integrate nicht mehr Be- 

 deutung haben als Quadraturen, giebt es andere, welche fur alle iibrigen zu- 



*) Diese Vorlesungen wurden im Winter 184243 gehalten. C. 



