complicirt, and ihre Integration 1st ernes der grossten Meisterwerke Eulers- 

 Durch das rieue Princip ergiebt sich ihr Multiplicator von selbst. 



Besonders hervorzuheben 1st diejenige Classe von Problemen, fiir welche 

 zugieich das Princip der lebendigen Kraft und das Princip der kleinsten Wirkuno- 

 gilt. Hamilton hat namlich bemerkt, dass man in diesem Falle die Aufgabe 

 auf eine nicht lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung zuriickfuhren 

 kann. Hat man eine vollstandige Losung derselben gefunden, so ergeben sich 

 sofort alle Integralgleichungen. Die durch die partielle Differentialgleiehung 

 definirte Function nennt Hamilton die charakteristische Function. 



Hamilton hat den schonen Zusammenhang, den er gefunden hat. etwas 

 unzuganglich gemacht und verdunkelt, und zwar dadurch, dass er seine cha 

 rakteristische Function noch zugieich von einer zweiten partiellen Differential- 

 gleichung abhangen lasst. Die Hinzufiigung dieser Bestimmung macht die ganze 

 Entdeckung unnothig complicirt, da eine genauere Untersuchung zeigt, dass die 

 zweite partielle Differentialgleichung vollkommen tiberfliissig ist. 



Wir wollen zur Unterscheidung folgende Bezeichnungen einfiihren: Die 

 Inteo rale der ffewohnlichen DifferentiaJo;leichuno;en wollen wir Integrale oder 



O O O O o 



Integralgleichungen nennen, die Integrale der partiellen Differentialgleichung 

 dagegen Losungen. Ferner wollen wir bei einem System von Differential- 

 gleichungen Integrale und Integralgleichungen unterscheiden. Integrale seien 

 diejenigen ersten Integrale, welche die Form haben: Function der Coordinaten 

 und ihrer Differentialquotienten gleich einer Constanten, und deren Differential- 

 quotient mit Benutzung des gegebenen Systems von Differentialgleichungen 

 identisch gleich Null wird, ohne dass man andere Integrale zu Hiilfe ruft; 

 Integralgleichungen heissen alle iibrigen Integrale. In diesem Sinne geben also 

 die Principe der lebendigen Kraft und der Flachenraume Integrale und nicht 

 Integralgleichungen. 



Durch die Hamiltonsche Entdeckung hat das System der Integral- 

 gleichungeh der mechanischen Probleme eine sehr merkwiirdige Form erhalten. 

 Wenn man namlich die charakteristische Function nach den willki irlichen Con 

 stanten, welche sie enthalt, differentiirt. so giebt dies die Integralgleichungen 

 des gegebenen Systems. von Differentialgleichungen. Dies ist analog dein Satz 

 von Lagranye, wonach sich die Differentialgleichungen eines Problems, fiir welches 

 das Princip der kleinsten Wirkung gilt, als partielle Differentialquotienten einer 

 einzigen Grosse darstellen lassen. Obgleich nun Hamilton die in Rede stehende 



