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Betrachten wir zunachst einen besonderen Fall. Es bewege sich em 

 einzelner materieller Punkt auf einer gegebenen Oberflache durch einen anfang- 

 lichen Stoss fortgetrieben. ohne dass Anziehungskrafte auf ihn wirken. In 

 diesem Fall ist U=0 und die Summe ^m^ zieht sich auf mds* zusammen; 

 es wird also 



oder 



s 



ein Minimum,, d. h. der materielle Punkt beschreibt eine kurzeste Linie auf der 

 gegebenen Oberflache. Aber die kiirzesten Linien haben ihre Eigenschaft, ein 



O O 



Minimum zu sein, nur zwischen gewissen Grenzen; auf der Kugel z. B., wo die 

 grossten Kreise kurzeste Linien sind, hort diese Eigenschaft auf, wenn man eine 



O * O 



Lange betrachtet, die grosser als 180 ist. Um dies einzusehen, wird man nicht 

 die Erganzung zu 360 zu Hiilfe rufen di irfen. was nichts beweisen wiirde, da 

 die Minima nur immer in Beziehung auf die unendlich nahe liegenden Linien 

 stattzufmden brauchen; man iiberzeugt sich vielmehr davon auf eine andere Art. 

 B sei der Pol von A; man verlangere den grossten Kreis AaB 

 iiber B hinaus bis C und lege den grossten Kreis AftB unendlich 

 nahe an AaB, dann ist AccBC -- = AfiB-hBC = Ap-\-fiB-\-BC. 

 Es sei ferner /? unendlich nahe an B und ftC ein grosster 

 Kreisbogen, so ist @C&amp;lt;ifiB-+-BC, also ist die gebrochene Linie 

 Aft-+-fiC kleiner als der grosste Kreis AaBC. Auf der Kugel 

 also ist 180 die Grenze der Minimum-Eigenschaft. Um diese 

 Grenze allgemein zu bestimmen, habe ich folgenden Satz auf- 

 gestellt, auf welchen ich durch tiefer liegende Untersuchungen 

 gekommen bin: 



Wenn man von einetn Punkt einer Oberflache nach alien Richtungen kiirzeste 

 Linien zieht, so konnen zwei Fdlle eintreten: zwei unendlich nahe kurzeste Linien 

 laufen entweder fortwdhrend neben einander, ohne sich zu schneiden, oder sic 

 schneiden sich iviederwn, und alsdann bildet die Continuitdt aller Durchschnitts- 

 punkte ihre einhullende Curve. Im ersten Falle horen die kiirzesten Linien nie 

 auf kiirzeste zu sein, im zweiten sind sie es nur bis zum Beruhrungspunkte mil 

 der einhilllenden Curve. 



Das Erstere findet, wie sich von selbst versteht, bei alien developpablen 

 Flachen statt, denn in der Ebene schneiden sich die durch einen Punkt gehenden 



