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Geraden nie wieder; ferner findet es auch, wie ich gefunden habe, bei alien 

 concav-convexen Flachen statt, d. h. bei denjenigen, in welchen zwei auf ein- 

 ander senkrechte jSTormalschnitte ihre Kriiinmungshalbmesser nach entgegen- 

 gesetzten Seiten haben, z. B. bei dem einschaligen H} 7 perboloid und bei dem 

 hyperbolischen Paraboloid. Hiermit soil iibrigens nicht gesagt sein, dass es 

 nicht auch concav-concave Flachen geben konnte, welche in diese Kategorie 

 gehoren, wenigstens ist die Unmoglichkeit hiervon nicht bewiesen. Ein Beispiel 

 der zweiten Art giebt das Revolutionsellipsoid. Nehmen wir dasselbe wenig 

 von der Kugel verschieden an. so werden die kiirzesten Linien, welche durch 

 einen beliebigen Punkt der Oberflache gehen, sich zwar nicht, wie auf der 

 Kugel. in dem Pole sammtlich schneiden, aber sie werden in der Gegend des 

 Pols eine kleine einhullende Curve bilden. In diesem Umstande scheint bei 

 oberflachlicher Betrachtung ein Paradoxon zu liegen; denn die einhullende Curve 

 hat im Allgemeinen die Eigenschaft. dass das System von Curven, welches von 

 derselben eingehullt wird, nicht in den inneren Raum der einhiillenden ein- 

 treten kann. Demnach wiirde es einen Flachentheil geben von der Beschaffenheit, 

 dass sich nach irgend einem Punkt im Innern desselben von dem gegebenen 

 Punkt keine ktirzeste Linie ziehen liesse, was unmoglich ist. Das Paradoxon 

 losst sich aber durch die genauere Betrachtung der ein- 

 hullenden Curve auf, wie aus der nebenstehenden Zeichnung 

 zu ersehen ist. in welcher ABCD die einhullende Curve, 

 welche ungefahr die Gestalt der Evolute der Ellipse hat, 

 und EFG eine kiirzeste Linie darstellt. Von E her tritt sie in 

 den von der einhiillenden Curve begrenzten Flachentheil ein, 

 beriihrt dann die Curve in einem Punkte F und hort von da 

 an auf, kiirzeste Linie zu sein. - - Diese Eigenschaft der kiir 

 zesten Linien, dass sie aufhoren solche zu sein, wenn sie ihre 

 gemeinschaftliche einhiillende Curve bertihrt haben, ist, wie 

 gesagt, durch tiefliegende Betrachtungen gefunden worden; sie lasst sich aber nach- 

 traglich sehr leicht einseheri. Denn indem zwei unendlich nahe ktirzeste Linien 

 sich schneiden, wird im Durchschnittspunkt nicht nur die erste, sondern auch 

 die zweite Variation Null, der Unterschied reducirt sich also auf unendlich kleine 

 Grossen dritter Ordnung, d. h. es findet kein Minimum mehr statt. - 



Wir kehren jetzt wieder zu der allgemeinen Betrachtung des Minimums 

 fur das Princip der kleinsten Wirkung zuriick. Die willktirlichen Constanten, 



