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Lagrange sagt ganz richtig, in diesem Falle konne das Integral nie ein Maximum 

 werden, denn wie lang auch die zwischen zwei Pankten auf einer gegebenen 

 Oberflache gezogene Curve sein moge, so konne man immer eine noch langere 

 angeben: und hieraus schliesst er, dass das Integral immer ein Minimum sein 



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miisse. Poisson dagegen, der wusste, dass das Integral in gewissen Fallen, na- 

 mentlich bei geschlossenen Oberflachen, fiber gewisse Gfenzen hinaus aufhort 

 ein Minimum zu sein, schloss hieraus, in diesen Fallen miisste es demnach ein 

 Maximum sein. Beide Schlusse sind falsch; im Fall der kurzesten Linien kann 

 das Integral allerdings nie ein Maximum sein, vielmehr ist es entweder ein 



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Minimum, oder keines von Beiden, weder Maximum, noch Minimum. 



Die Elimination der Zeit aus dem Integral, welches bei dem Princip der 

 kleinsten Wirkung in Betracht kommt, darf nicht etwa durch das Princip der 

 Flachen oder irgend eine andere Integralgleichung des Problems, sondern sie 

 muss gerade durch das Princip der lebendigen Kraft geschehen; nur so kommt 

 man zu dem Princip der kleinsten Wirkung. Lagrange sagt an einer Stelle, er 

 habe in den Turiner Memoiren die Differentialgleichungen der Bewegung aus 

 dem Princip der kleinsten Wirkung in Verbindung mit dem Princip der lebendigen 

 Kraft hergeleitet. Eine solche Ausdrucksweise ist nach den oben gemachten 

 Bemerkungen nicht zulassig. Lagrange wandte die soeben von ihm erfundene 

 Variationsrechnung auf das schon von Eukr benutzte Princip der kleinsten 

 Wirkung an, gebrauchte aber hierbei das Princip der lebendigen Kraft in der 

 Ausdehnung, welche Daniel Bernoulli demselben gegeben hatte, und auf diese 

 Weise kam er zu der allgemeinen symbolischen Gleichung der Dynamik, von 

 welcher wir ausgegangen sind und welche wir hier noch einmal hinschreiben 

 wollen; sie war: 



(1.) 



wo auf der rechten Seite dU zu setzen ist, wenn das Princip der lebendigen 

 Kraft gilt. Abstrahirt man davon, dass dU nach dem in der Variationsrechnung 

 tiblichen Sinn nur dann fiir die rechte Seite obiger Gleichung gesetzt werden 

 kann, wenn die Grossen X t , Y t , Z/ die partiellen Differentialquotienten einer 

 einzigen Function U sind, und betrachtet man es rein als symbolische abgekiirzte 

 Bezeichnung, so hat man 



( d?x. &amp;lt;/ &amp;gt;/. 



(2.) 



