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auch. wenn der Satz der lebendigen Kraft nicht gilt. Diese Gleichung ist nun. 

 wie schon friiher erwahnt wurde, auch noch richtig. wenn Bedingungsgleichungen 

 stattfinden, aber dann sind die Variationen nicht mehr alle von einander unab- 

 hangig. Hat man m Bedingungsgleichungen 



(3.) / = &amp;lt;), 5p=.0, ..., 



so existiren zwischen den Variationen die m Relationen 



/*&quot;\ _/* &quot;&amp;gt; /* 



*~ d f *.. f 



(40 



d(f 



= 0, 





dx. dy. 3i 



i 3 1 



U. S. W. 



Vermittelst dieser m Gleichungen kann man m von den 3/i Variationen 

 dX;, &amp;lt;%,;, dZi . . . aus der Gleichung (1.) eliminiren, und indem man die iibrig 

 bleibenden von einander unabhangig setzt, zerfallt die symbolische Gleichung. (1.) 

 in die Differentialgleichungen der Bewegung. Aber diese Elimination wiirde 

 sehr mlihsam sein und hat iiberdies manche Uebelstande; denn erstens miisste 

 man gewisse Coordinaten vor den iibrigen bevorzugen und erhielte dadurch 

 keine symmetrischen Formeln, und ausserdem ware die Form der Eliminations- 

 gleichungen filr jede Anzahl von Bedingungsgleichungen eine andere, durch 

 welchen Umstand die Allgemeinheit der Untersuchung sehr erschwert werden 

 wiirde. Alle diese Schwierigkeiten hat Lagrange durch Einfiihrung von Multi- 

 plicatoren besiegt, eine Methode, welche schon Eider bei den Problemen .,de 

 maximis et minimis&quot; haufig angewendet hat: Da namlich die Variationen 

 JX-, ty;, d Zi ... in den Gleichungen (1.) und (4.) linear vorkommen, so kann 

 man die Elimination von m derselben folgendermassen bewerkstelligen : Man 

 multiplicire die Gleichungen (4.) respective mit den Factoren 2, t u ... und addire 

 sie zu (1.); die resultirende Gleichung heisse (L). Nun bestimme man die 

 Factoren A, ^ ... so, dass in der mit (I/) bezeichneten Gleichung m der in 

 die Variationen dx i} dy^ dz t , . . multiplicirten Ausdriicke identisch verschwinden ; 

 dann geben die in die iibrig bleibenden 3n m Variationen multiplicirten Aus 

 driicke gleich Null gesetzt die Differentialgleichungen des Problems. Man sieht 

 auf diese Weise, dass man in der Gleichung (L) sammtliche 3n in die Variationen 

 dx f , dy^ dZi . . . multiplicirten Ausdriicke gleich Null zu setzen und dann diese 

 Gleichungen so anzusehen hat, dass m derselben die MultipHcatoren 2, ,u . . . 

 definiren, die iibrigen aber, in welche die so bestimmten Multiplicatoren einzu- 



