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Achte Yorlesung. 



Das Samiltonsche Integral und die zweite Lagrangesche Form 

 der dynamischen Gleichungen. 



Man kann statt des Princips der kleinsten Wirkung ein anderes substi- 

 tuiren, welches auch darin besteht, dass die erste Variation eines Integrals ver- 

 schwindet, und aus welchem man die Differentialgleichungen der Bewegungen 

 auf eine noch einfachere Weise erhalt als aus dem Princip der kleinsten Wirkung. 

 Man scheint dies Princip friiher deshalb unbemerkt gelassen zu haben, weil 

 hier nicht, wie bei dem Princip der kleinsten Wirkung, mit dem Verschwinden 

 der Variation im Allgemeinen zugleich ein Minimum eintritt. Hamilton ist der 

 erste. der von diesem Princip ausgegangen ist. Wir werden dasselbe benutzen, 

 um die Gleichungen der Bewegung in der Form aufzustellen , welche ihnen 

 Lagrange in der Mecanique analytique gegeben hat. Es seien zunachst die 

 Kraft e X it Y { , Z { partielle Differentialquotienten einer Function U; ferner sei T 

 die halbe lebendige Kraft, d. h. 



dann besteht das neue Princip in der Gleichung 

 (1.) 



Dies Princip ist, mit dem der kleinsten Wirkung verglichen, insofern allgemeiner. 

 als hier U auch t explicite enthalten darf, was in jenem Princip ausgeschlossen 

 ist; denn in ihm muss die Zeit durch den Satz der lebendigen Kraft eliminirt 

 werden, der nur gilt, wenn U die Zeit nicht explicite enthalt. 



Die Gleichung (1.) werden wir benutzen, um die Zuruckfuhrung der 

 Differentialgleichungen der Bewegung auf eine partielle Differentialgleichung 

 erster Ordnung nachzuweisen. Wie Hamilton gezeigt hat, kann man durch 

 theilweise Integration die Variation (1.) in zwei Theile dergestalt zerlegen, dass 

 der eine ausser, der andere unter dem Iritegralzeichen steht, und jeder fiir sich 

 verschwinden muss. Auf diese Weise giebt der Ausdruck unter dem Integral- 

 zeichen gleich Null gesetzt die Differentialgleichungen des Problems und der 

 Ausdruck ausser dem Integralzeichen die Integralgleichungen desselben. 



Das neue Princip lautet vollstandig ausgesprochen folgendermassen: 



