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warden, sei nicht vollstandig integrirt, sondern es fehle noch eine Integration. 

 man habe also nicht Qn 2m 1 Integrate gefunden, sondern nur Qn 2m 2; 

 alsdann kann man nicht alle Variablen durch eine einzige, z. B. # 15 ausdriicken. 

 wohl aber durch zwei, z. B. x t und y l . In diesem Falle bleibt noch eine Diffe- 

 rentialgleichung zwischen x l und y\ zu integriren iibrig; hat man namlich a us 



-^- = y\ das Differential der Zeit durch dt=r eliminirt, so erhalt man 



dt x\ 



dx l :dy l = x\ :y\, 



wo x\ und y{ nach unserer Annahme Functionen von x t und y v sind. Von 

 dieser Differentialgleichung nun giebt das- von mil* aufgestellte Princip den 

 Multiplicator an. Nachdem man sie mit Hiilfe desselben integrirt hat, findet man. 

 wie oben bemerkt, die Zeit durch eine blosse Quadratur. Wenn also diese 

 nicht explicite vorkommt, so braucht man nur 6n 2m 2 Integrationen aus- 

 zufuhren, um die beiden letzten ohne weiteren Kunstgriff zu erhalten. 



Kommt die Zeit aber explicite, also nicht bios in ihrem Differential vor, 

 so lasst sie sich aus den Differentialgleichungen nicht eliminiren. Wenn jedoch 

 alsdann 6n 2m 1 Integrationen ausgefiihrt werden konnen, durch welche sich 

 Alles auf die Integration einer Differentialgleichung von der Form 



da; l x\dt = 



reducirt, wo x( Function von X 1 und t 1st, so erhalt man wiederum durch .das 

 Princip des letzten Multiplicators das letzte Integral. 



Nachdem wir gesehen haben, was das in Rede stehende Princip leistet, 

 gehen wir zur Herleitung desselben liber. - 



Als Euler schon an sehr vielen Beispielen gesehen hatte, dass man 

 Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen zwei Variablen durch Multi- 

 plicatoren zu vollstandigen Differentialen machen und so integriren konne, 

 dauerte es doch noch sehr lange, bis er zu der Einsicht gelangte, dass dies 

 eine allgemeine Eigenschaft dieser Differentialgieichungen sei. Dies lag daran, 

 dass ihm die Vorstellung, die Integralgleichung nach der willkurlichen Con- 

 stante aufzulosen, sehr fern lag. Ware ihin diese gelaufiger gewesen, so wiirde 

 er auch nicht daran verzweifelt haben, die linearen partiellen Differential 

 gleichungen auf gewohnliche zuruckzufilhren, ein Problem, welches er fur 

 schwieriger hielt, als das noch heute ungeloste, Differentialgleichungen z welter 

 Ordnung zwischen zwei Variablen zu integriren, wahrend die Zuriickfiihrung 

 der partiellen linearen Differentialgleichungen auf gewohnliche jetzt zu den 



Jacobi, Werke. Supplementband (Dynamik). 10 



