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Elementen gehort. Euler hat auch nie die Theorie des Multiplicators auf ein 

 System von Differentialgleichungen ausgedehnt, obgleich in diesem Falle das 

 Verfahren ebenso einfach ist, wenn man sich die Integralgleichungen nach den 

 willkiirlichen Constanten aufgelost denkt. 



Nehmen wir zuerst eine Differentialgleichung zwischen zwei Variablen 

 x und y, und zwar sei sie in Gestalt der Proportion 



dx:dy X:Y, 



gegeben, welche mit der Gleichung 



Xdy Ydx = 



identisch ist. Denkt man sich das Integral auf die Form F= Const, gebracht, 

 so erhalt man durch Differentiation die Gleichung 



dF . dF . 

 = dy-\ ~ dx = 0, 

 ay dx 



deren linke Seite nur um einen Factor M von der linken Seite obiger Differential 

 gleichung verschieden sein kann; man hat also 



dF dF 



MX MY = 



dy dx 



und hieraus ergiebt sich zur Bestimmung von M die Gleichung 



Dehnen wir die Theorie dieses Multiplicators M auf ein System zweier 

 simultanen Differentialgleichungen zwischen drei Variablen aus. Dasselbe sei in 

 folgender Form vorgelegt: 



(2.) dx : dy : dz = X : Y : Z, 



die Integralgleichungen nach den willkurlichen Constanten aufgelost seien 



(3.) f=a, r=fr 



dann hat man 



ay az 

 und hieraus ergiebt sich 



dx . d .^ = f^^__^^_.__---._- 



\dy dz dz dy ) \ dz dx dx dz ) \ dx dy dy dx 



Setzt man 



A = ,_df_d&amp;lt;P__ _8Ldv_ B=Z ^L^__^L^L c = -^~^- df d(p 



dy dz dz dy dz dx dx dz dx dy dy dx 



