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vorausgesetzt, dass soivohl aus dem angegebenen Factor, als cms X und Y ver- 

 moge des schon gefundenen Integrals (f == ft die Variable z eliminirt sei. 



Man konnte diesen Satz fur sehr unfruchtbar halten; denn wahrend zur 

 Kenntniss des zweiten Integrals f die Losung der partiellen Differentialgleichung 



-- 



dx dy 



erfordert wird, haben wir, um M zu bestimmen und daraus das zweite Integral 

 f zu linden, die viel complicirtere Differentialgleichung 



dJ\i dM SM dx dY BZ 



BZ\ 



d^r 





zu losen. Es scheint also ein leichteres Problem auf ein schwierigeres zuruck- 

 gefuhrt zu sein; indessen tritt hier ein eigenthiimlicher Umstand ein. Die partielle 

 Diiferentialgleichung, welche / definirt, also die Gleichung 



= U 



^ 

 dx dy 



lasst die Losung / = Const, zu; aber diese evidente Losung giebt kein Integral 

 des vorgelegten Systems und muss daher ausgeschlossen werden. Ein solches 

 Ausschliessen einer Losung ist bei dem Multiplicator M nicht nothig, und wenn 

 z. B. M einer Constanten gleich gesetzt eine Losung der Grleichung (4.) giebt, 

 so ist dieser Werth von M als Multiplicator ebensowohl zu brauchen, wie jeder 

 andere. Der Fall, dass man M= Const, setzen kann, tritt ein, wenn 



dX dY dZ 



(9 ^^^-^T^^^ 



ist, denn alsdann reducirt sich die Gleich ung (4.) auf 



dx ay dz 



man kann also M= Const., z. B. =1, setzen und hat den Satz: 

 Wenn in dem System der Differentialgleichungen 



dx:dy:dz^ X:Y: Z 

 X, Y, Z Functionen von x, y, z sind, tvelche der Bedingung 



dX 8Y dZ 



~ -- 1 ^ -- 1 ?s u 

 dx dy dz 



genilgen, wenn man ferner ein Integral (f = fi des Systems kennt, aus dieser 

 Gleichung z in den Grossen x, y, ft ausdruckt und den gefundenen Werth in 



