oder 



u 



84 



dx 



dig 



du 



Es ist also in der That -5-7- ein vollstandiger Differentialquotient nach x, und 

 nach Gleichung (11.) 



M = 



Man hat demnach einen Satz, der fur alle Probleme der Variationsrechnung 

 gilt, in welchen das Integral 



ein Maximum oder Minimum werden soil. Damit diese Bedingung erftillt werde, 

 muss zwischen x und y die Differential gleichung zweiter Ordnung 



d^- 

 dy _ dip 



dx dy 



bestehen, welche folgende Eigenschaft besitzt: Kennt man ein erstes Integral 

 derselben 



und bringt dasselbe auf die Form 



dy F(x,y, a)dx = 0, 

 so ist 



dy cty 



da; 

 in x, y und ce ausgedruckt der integrirende Factor dieser Differentialgleichung. 



In diese Kategorie von Aufgaben des Maximums oder Minimums gehort 

 z. B. die Bestimmung der kilrzesteri Linie auf einer gegebenen Oberflache. Diese 

 Aufgabe ffihrt auf eine Differentialgleichung zweiter Ordnung; kennt man von 

 derselben ein Integral, so lasst sich der Multiplicator der noch zu integrirenden 

 Differentialgleichung erster Ordnung bestimmen. 



