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Was bis jetzt von dem einfachsten Fall der Variationsrechnung gesagt 

 worden 1st, lasst sich auf den allgemeinsten ausdehnen, in welchem unter dem 

 Integralzeichen eine Function steht, die beliebig viele von einer Variablen x ab- 

 hangige Variable y, z, u, . . . und von jeder die Differentialquotienten bis zu einer 

 beliebig; hohen Ordnung hin enthalt. Wenn eine solche Aufgabe bis za einer 



o o o 



Differentialgleichung erster Ordnung zwischen zwei Variablen zuruckgeftihrt ist, 

 so lasst sich die letzte Integration ebenfalls ausfuhren. Aber um dieses Resultat 

 zu gewinnen, ist es nothig einige Satze fiber die Ausdrucke anzufiihren, welche 

 bei der Auflosung der linearen Gleichungen vorkommen, und welche von Laplace 

 Resultanten, von Gauss Determinanten, von Cauchy alternirende Functionen ge- 

 nannt worden sind. 



Elfte Vorlesung. 



Uebersicht derjenigen Eigenschaften der Determinanten, welche in der Theorie 

 des letzten Multiplicators benutzt werden. 



Setzt man 



P = (a 2 a 1 Xa 3 a l ) . . . (a, o,) . . . (a n aj 

 (a 3 3 ) ... (a s a 2 ) ....(a n a 2 ) 



(a n a n _ t ), 



so hat das so definirte Product P die Eigenschaft, dass es durch irgend eine 

 Permutation der Grossen a 1? 2 , ... a n oder, was dasselbe ist, der Indices 

 1, 2, ... n nur das Zeichen und nicht seinen absoluten Werth andert. Von 

 diesen Permutationen soil hier nur Folgendes angefiihrt werden: 



Man bezeichne die Indices 1, 2, ... n, nachdem man ihre Ordnung auf 

 eine ganz beliebige Art geandert hat, mit ^, i&amp;gt;, ... i n und die Permutation, 



durch welche 



1, 2, 3, ... s ... n 



in 



iibergeht, mit J. Wie auch die Permutation J beschaffen sein mag, so kann 

 man immer die Indices 1, 2, ... n in gewisse Gruppen von der Beschaffenheit 



