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theilen, dass durch die Permutation J die Indices, die zu einer Gruppe gehoren, 

 entweder in einander oder sammt und senders in eine andere Gruppe ubergehen, 

 so dass jedenfalls die zu einer Gruppe gehorenden Indices bei einander bleiben. 

 In Riicksicht auf diese Gruppen kann man alsdann wiederum die Permutationen 

 klassificiren, so dass fiir einige derselben alle Gruppen in sich selbst ubergehen, 

 fiir andere eine bestimmte Gruppe von Indices in eine zweite iibergeht u. s. w. 

 Dieser noch keineswegs erschopfte Gegenstand ist einer der wichtigsten der 

 Algebra; in alien Fallen, wo bis jetzt die Auflosung der Gleichungen moglich 

 gewesen ist, ist hierin der Grund zu suchen. 



Die wichtigste dieser Klassificationen der Permutationen ist die in positive 

 und negative Permutationen, von welchen die ersteren P ungeandert lassen, 

 die letzteren P in P verwandeln. In die zweite Klasse gehort z. B. der ein- 

 fachste Fall, in welchem man nur zwei Indices i und i mit einander vertauscht. 

 Man sieht dies auf der Stelle ein, wenn man P auf die Form 



bringt, wo k sammtliche Indices bedeutet, die von i und i verschieden sind, 

 und k, k sammtliche Combinationen der von i und i verschiedenen Indices zu 

 je zweien, wobei die Vertauschung zweier in derselben Differenz vorkommenden 

 ausgeschlossen ist. Um zu beurtheilen, ob eine Permutation 



f 1, 2, 3, ... n 



\ ) \ 



l*j, * 2 , * 3 , ... ^ n 



positiv oder negativ sei, vergleiche man der Reihe nach jedes { mit den nach- 

 folgenden Zahlen. Ist p die Anzahl derjenigen Falle, in welchen das grossere i 

 vor einem nachfolgenden kleineren steht, so ist (J) eine positive oder negative 

 Permutation, jenachdem /& gerade oder ungerade ist; oder einfacher: (-/) ist 

 positiv oder negativ, je nachdem man durch eine gerade oder ungerade Anzahl 

 von Vertauschungen je zweier Elemente aus 1, 2, 3 ... n, die Permutation 

 4? 4? 4 4 erhalt. 



Um von clem Bisherigen zu den Determinanten iiberzugehen , betrachte 

 man die n 2 Grossen 



a,, b , c , ... p . 



a n&amp;gt; b n&amp;gt; C n&amp;gt; Pn 



Man bilde das Product 



a. b v c, , . p , 



&quot;i &quot;j v s r n &amp;gt; 



