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Aber durch Vertauschung der Indices i und k geht R in R fiber, also, wie 

 hieraus ersichtlich ist, A f in A k , B; in B k u. s. w.; mithin geht der Term 

 von AI, der in b k maltiplicirt ist, in den Term von A k fiber, der in 6, multi- 

 plicirt ist, d. h. in R haben a t b k und a k b t entgegengesetzte Factoren, oder es ist 



d R d*R 



da.db, da,db. 



i k k i 



Ebenso hat man fur drei Indices i, k, I 



d*R d*R d 3 R d 3 R d s R 



da.db.dc, da,db,dc. da.db.dc. da,db,dc. da.db.dc. da.db.dc 



t k I k I i lik I k i k i I i I 



und hieraus ergeben sich folgende Darstellungen von 



, 



k \t da.db. 



i k 



R = ^ 



wo die Summationen auf alle von einander verschiedenen Combinationen der 

 Indices 1, 2, ... n zu zweien und zu dreien auszudehnen sind. Diese Dar- 

 stellung einer Determinante durch Producte von Determinanten niederer Ord- 

 nung nndet sich zuerst in einer Abhandlung von Laplace iiber das Weltsystem 

 in den Pariser Memoiren von 1772. Laplace und Cramer in Genf sind iiber- 

 haupt die ersten, welche die Eigenschaften der Determinanten gehorig unter- 

 sucht haben. 



3. Die oben angefuhrte Gleichung 



dR dR dR 



R = 



~3~ 



dg n 



giebt, wenn man a fur g schreibt: 



dR dR dR 



R = a.-~ --- h 2 ^ --- 1 



o i ** o I i^ &quot; o 



oa 1 oa 2 oa n 



Dieser Gleichung sind noch n 1 andere hinzuzufiigen, welche sich dadurch 

 beweisen lassen, dass R identisch verschwinden muss, wenn man zwei Reihen 

 von Grossen einander gleich setzt; sie lauten: 



dR dR dR 



oa l &quot; oa 2 oa n 



dR dR dR 



da n 

 dR dR 



