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Der in der Gleiehung (2.) enthaltene Satz ist zuerst von LiouviUe und 

 zwar in dieser Form aufgestellt worden (LiouviUe Journal Bd. 3, p. 348): in einer 

 anderen Form, in welcher die willkurlichen Constanten a durch unabhanoio-e 



o o 



Variable x und diese durch Functionen / von den Variablen x ersetzt sind, 

 kommt derselbe in einer meiner Abhandlungen (Crelle Journal Bd. 22, p. 336) vor. 

 LiouviUe hat aus diesem Satz nicht den Nutzen gezogen, welchen er fur die 

 Integration gewahrt. Ehe wir zu dieser Anwendung ubergehen, wollen wir clem 

 gewonnenen Ergebniss eine etwas allgemeinere Form geben, indem wir daran 

 eine Veranderung anbringen, die zwar sehr unwesentlich scheint, ohne welche 

 aber nichtsdestoweniger seine Anwendbarkeit sehr viel beschrankter sein wurde. 

 Schreibt man das System (1.) in Form der Proportion 



dx : dx 1 : dx 2 :...: dx n = 1 : X l : X 2 : . . . : X n , 



so lasst sich derselben, durch Multiplication mit einer willkurlichen Grosse X 

 auf der rechten Seite, die frtiher betrachtete Gestalt 



(3.) dx : dx 1 : dx 2 : . . . : dx n = X : X 1 : X 2 : . . . : X n 



geben, wenn man gleichzeitig X l} X 2 , ... X n beziehungsweise durch die 



XX X 



Quotienten -^-, --, . . . -~^- ersetzt. Durch diese Veranderung oreht die Glei- 



JL JL -A. 



chung (2.) in 



X. 



dlgR \ X 



f- 



i(dx l ox. dx n \ i ( ex Y ox 



~~ X \ dx, ~~^T~+&quot; dx n }~ X 2 l AI ^ hA &quot; 



X 2 \ cu , * ex., 



iiber. Das substractive Glied auf der rechten Seite dieser Gleiehung kann man 

 mit Hiilfe der Grleichunsren 



cA/ j X 2 dx., X n __ dx n 





auf die Form 



dX fa, 6X dx., dX dx n 



X dx n \ 



s n dx ) 



X \ dx l dx dx 2 dx dx n 



oder 



1 ( dX dX\ 

 ~~X\ dx ~ dx J 



brino-en. Setzt man dies in den Ausdruck von - ~ ein, so ergiebt sich 



ax 

 7 1 T-&amp;gt; -t / ~i -\r &quot;~\ ~v n *v 



c/Jo /t 1 / dJL dA o2L n 



I L _| -L i . . . _j ! 



X \ 6x^ dx 2 dx n 



?Xn\__(dX_ dX\ 

 Bx n J X \ dx ex / 



