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gleichfalls eine Losung ist. Da aber /j, / 2 , ... f n , f n+l von einander unab- 

 hangig angenommen werden, so kann man sie als neue Variable fiir x, x 19 ... x n 

 einfiihren, und daher ist eine willkiirliche Function von / 1; f z , ... f n , f n+l 

 gleichbedeutend mit einer willkiirlichen Function von x, #,, ... x n . Der in 

 Rede stehenden Differentialgleichung fiir f wiirde demnach jede beliebige Function 

 von x, x l , . . . x n geniigen, was unmoglich ist. Es kann also nur n von einander 

 unabhangige Losungen /i, f 2 , ... f n geben. 



Diese n Losungen der partiellen Differentialgleichung (2.) haben die 

 Eigenschaft, dass sie durch die Integralgleichungen des Systems gewohnlicher 

 Differentialgleichungen 



(3.) dx : dx^ : ... : dx n = X: X } : ... : X H 



Constanten gleich werden. Denn da diese Integralgleichungen die Grossen 

 Jf, X l} ... X n den Differentialen dx, dx l} . . . dx n proportional machen, so kann 

 man in der fiir irgend ein f geltenden partiellen Differentialgleichung, also in 

 der Gleichung 



C/fci* C/wi C/ti /j 



die Grossen X, X 1 , ... X n durch die denselben proportionalen Differentiale 

 dx, dx lt . . . dx n ersetzen und erhalt 



df. df. df. 



^ dx-\ ~ dx.-\ 1 7; dx n = 



oder 



df. = 0, 



und daher 



f. = Const. 



Indem man annimmt, dass die Constanten, welchen / 15 /,, ... f n gleich werden 

 miissen, n von einander unabhangige willkiirliche Constanten a l9 ct 2 , ... ce n sind, 

 erhalt man die allgemeinste Integration, deren die Differentialgleichungen (3.) 

 fahig sind, und es bilden also 



f l =a 1 , f, = a. 2 , ... f i = a., ... f n = a n 



ein voll stand ip es nach den willkiirlichen Constanten aufgelostes System von 

 Integral en jener Differentialgleichungen. Umgekehrt, wird die vollstiindige In 

 tegration der Differentialgleichungen (3.) durch n Gleichungen mit n von ein 

 ander unabhangigen willkiirlichen Constanten geleistet, d. h. durch n Gleichungen 

 der Beschaffenheit, dass es unmoglich ist, aus denselben eine von alien n Con 

 stanten freie Result-ante der Elimination herzuleiten, und ergiebt die Auflosung 



