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auch so schreiben: 



(4.) M X = An, M X, = A } v, ... M X n = A n m. 



Mit Hiilfe des Systems der Differentialgleichungen (3.) lasst sich die fur 

 M gefundene partielle Differentialgleichung (1.) transformiren. Die Gleichung 



ax. dx,,\ 



rrH = 0, 



1 1 



oder, was dasselbe ist, 



(dM X, dM X n dM\ (dX SX, dX 



A I ^ 1 ^ ~ 1 1 ~r- -5 I -+-1U I ~ 1 ^ 1 1 ~ 



V ox A aa/j A ox n ) \ ox ox l dx fi 



geht namlich unter Berucksichtigung von (3.) in 



^T \ 



= o, 



ta 5^c 

 oder in 



/p, N y Q [ I 



(P-J ^ ^ r~^r^ 



tiber. Diese Gleichung ist, da fur die Grossen ^, # 1? ... ^ die Differential 

 gleichungen (3.) bestehen, mit der Gleichung (1.) vollkommen identisch; man 

 kann vermittelst (3.) den Uebergang von (1.) zu (5.) sowie den umgekehrten 

 Uebergang machen. 



Aus der Gleichung (5.) lasst sich der Multiplicator M haufig bestimmen. 



r^TT r~)~^T /~) &quot;Y&quot; 



1st - h .&amp;gt; H ----- h ^. &quot; = 0, so findet man M= Const. In anderen Fallen 



ox ox l dx n 



lasst sich vermoge der Differentialgleichungen (3.) der Ausdruck 



dX | dX n 



X \ dx dx l dx 



in einen vollstandigen Differentialquotienten nach x transformiren. eine Trans 

 formation, welche freilich haufig noch grosse analytische Kunstgriffe erfordert. 

 Ist eine solche mogiich. so erhalt man ebenfalls M aus (5.) 



Hat man nun auf irgend eine Weise einen Werth M des Multiplicators 

 M gefunden, so besteht der Nutzen, der sich hieraus fiir die Integration des 

 Systems (3.) ziehen lasst, darin, dass man vermittelst M den integrirenden 

 Factor derjenigen Differentialgleichung angeben kann, welche nach Auffindung 

 von n 1 Integralen zu integriren iibrig bleibt. Zufolge der ersten Gleichung (4.) 

 hat man 



wo tD eine Function der n Losungen der partiellen Differentialgleichung (2.) 

 oder, wie bewiesen worden, eine Function der n Integrale des Systems (3.) ist. 



