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Hiermit 1st der Umfang erschopft. den wir dem Princip des letzten 

 Multiplicators zu geben vermogen; wir gehen jetzt zu den Anwendungen des- 

 selben ilber. 



Fiinfzehnte Vorlesung. 



Der Multiplicator fiir Systeme von Differentialgleichungen mit hoheren Differential- 

 quotienten. Anwendung auf ein freies System materieller Punkte. 



Alle unsere bisherigen Betrachtungen betrafen Systeme von Differential 

 gleichungen, in welchen nur Differentialquotienten erster Ordnung vorkommen. 

 Systeme dieser Art kann man als einen besonderen Fall derjenigen ansehen, 

 in welchen die Differentialquotienten auf beliebige Ordnung steigen. Aber 

 auch umgekehrt kann man durch Vermehrung der Anzahl der Variablen ein 

 System mit hoheren Differentialquotienten auf die Form eines nur Differential 

 quotienten erster Ordnung enthaltenden Systems zuruckfuhren, so dass jenes 

 ein besonderer Fall von diesem wird. Mit dieser Zuruckfiihrung eines be- 

 liebigen Systems auf ein anderes, in welchem nur Differentialquotienten erster 

 Ordnung vorkommen, wollen wir uns zunachst beschaftigen. Man habe ein 

 System von i Differentialgleichungen zwischen .i-i-l Variablen t, x, y, z, . . ., 

 wovon t als die unabhangige, x, y, z, ... als die abhangigen Variablen an- 

 gesehen werden. Die hochsten Differentialquotienten, welche in diesen Diffe 

 rentialgleichungen vorkommen, seien der m te von x, der n is von y, der _p te von 

 z, etc. Nehmen wir ferner an, dass man nach diesen hochsten Differential 

 quotienten auflosen konne, so dass die Differentialgleichungen folgende Form 

 bekommen: 



a.) 



wo die hochsten Differentialquotienten, die in A, B, C ... vorkommen, der 

 (m l) te von x, der (n l) te von y, der (p l) te von z, etc. seien, so ist dies die 

 canonische Form der Differentialgleichungen, in Beziehung auf welche alle 

 Untersuchungen anzustellen sind. Auf diese canonische Form (1.) wird sich 

 nicht immer unmittelbar jedes gegebene System zuruckfuhren lassen; dies wird 

 z. B. nicht angehen, wenn in der einen der gegebenen Grleichungen die hochsten 



Differentialquotienten ^-, f-, , . . . nicht vorkommen. Alsdann muss 



