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welchen sich hohere als die ersten Differentialquotienton unter dem Integrale 



befmden, ausdehnen. 



dV 

 Die gefundene Losung der partiellen Differentialgleichung -+- y = 



enthalt, wie wir gesehen haben, die p willkiirlichen Constanten &amp;lt;^, q 2 , ... q^, 

 und da in yj die Grosse V selbst nicht vorkommt, so kann man zu dieser Losung 

 F noch eine willkiirliche Constante addiren und hat dann eine Losung mit 

 fi-^l willkiirlichen Constanten. Die Losung V ist daher das, was man eine 

 vollstandige Losung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung nennt; 

 denn eine solche muss so viele von einander unabhangige Constanten enthalten, 

 als von einander unabhangige Variable in der Differentialgleichung vorkommen. 

 Sowie nun die Integration der betrachteten isoperimetrischen oder Be- 

 wegungsgleichungen diese vollstandige Losung der partiellen Differentialgleichung 



dV 

 -- (-1^ = liefert, so kann man umgekehrt aus der als bekannt vorausge- 



setzten vollstandigen Losung die Integralgleichungen der betrachteten isoperi 

 metrischen oder mechanischen Differentialgleichungen bilden, und zwar sind die- 

 selben in den bereits oben (Seite 146) gegebenen Gleichungen 



dV 



dq. ~~ Pi Qq . ~ Pi 



enthalten, welche auch im Fall der in Rede stehenden isoperimetrischen Pro- 

 bleme gelten. Wir haben also die Integralgleichungen unter derselben Form dar- 

 gest.ellt, wie fraher die Differentialgleichungen, namlich vermittelst der partiellen 

 Differentialquotienten einer Function V. Dies ist die Erfindung Hamilton^, 

 welcher die Function V mit dem Namen the principal function belegt. Das 



dV 

 zweite in (4.) enthaltene System von Gleichungen ~ = p% giebt die wahren 



J-i 



dV 

 Integralgleichungen, das erste System -^ =_p f giebt die Grossen p t oder q[ 



in t und q { mit [i Constanten q]; dies ist das System der ersten Integral 

 gleichungen, aber es ist von grosser Wichtigkeit, dass auch diese durch die 

 partiellen Differentialquotienten von V dargestellt werden konnen. Wie wir 

 spater zeigen werden, brauchen die ja in V enthaltenen Constanten nicht die 



Anfangswerthe q zu sein, sondern wenn man nur iiberhaupt eine vollstandige 



8V 

 Losung V der partiellen Differentialgleichung ~ -+- ty = mit irgend welchen 



Constanten kennt, so lassen sich immer die Integralgleichungen durch die partiellen 



