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Differentialgleichungen das System der Integralgleichungen 



(6 .) 



so folgt hieraus fiir die Anfangswerthe dasselbe System von Grleichungen, 

 namlich 



(D.) 



Das System (A) muss aus (C.) und (/).) durch Elimination von a l} 2 &amp;gt; Ci n 

 hervorgehen. Aber die Systeme (C.) und (/).) gehen in einander ilber, wenn 

 man t mit r und zugleich x^ mit #J, # 2 mit x 2 , ... # w mit #j( vertauscht; folglich 

 muss man in (A) eben diese Vertauschung vornehmen konnen, und das aus 

 derselben sich ergebende System (5.) muss mit (A) gleichbedeutend sein. 



Aus diesem Satze lasst sich eine bemerkenswerthe Folgerung ziehen. 

 Die Grleichungen (B.) sind Integrate, d. h. solche Integralgleichungen, die, wenn 

 man sie differentiirt und die Differentialgleichungen zu Hillfe nimrnt, ein identisch 

 verschwindendes Resultat geben. Jede der Gleichungen (A.} hingegen enthalt 



O O \ / o O 



n Constanten, von denen keine uberflussig (supervacanea) ist*). Daher erhalt 

 man, wenn man eine derselben, z. B. Xi fi(t,t,3%,3%,..-0%)j differentiirt, die 

 Differentialgleichungen zu Htilfe nimmt und diese Operation fortsetzt, nach und 

 nach alle Integralgleichungen. Einen solchen Nutzen kann man im Allgemeinen 

 aus der Kenntniss eines Integrals, Const. = F(i, r,x 1 ,x 2 , ... x n ), wo T einen be- 

 sonderen Werth von t bedeutet, nicht ziehen. Ereignet sich aber der Fall, 

 class die Constante gerade der dem Werthe r*von t entsprechende Werth der 

 einen Variable, x^ z. B., ist, so kann man aus dem einen Integral mit nur 

 einer Constante alle Integralgleichungen herleiten. Dieser Fall tritt ein, sobald 

 sich fiir tx die Function F(t, T, #i,# 2 ? ^) au ^ x i reclucirt; alsdann kann 

 man nach obigem Satz die Variablen mit ihren Anfangswerthen vertauschen 

 und erhalt daher aus dem einen Integral 



Pnnct Jfff T v&amp;gt; v T \ 



v^UULO u. J- 16, v* w*j iOny ^n) 



*) Siehe die Abhandhmg ,,dilucidationes de aequatt. diff. vulg. systenmtis&quot;, Crelles Journal, Bd. 23. 



