155 



die Integralgleichung 



x l == f (T } , &amp;lt;# 15 &amp;lt; 2 , ... x n ), 



aus welcher sich durch successive Differentiation alle iibrigen herleiten lassen. 



Wir wollen nun sehen, was bei der Vertauschung der Variablen mit 

 ihren Anfangswerthen aus F wird. Die betrachteten isoperimetrischen oder dy- 

 namischen Differentialgleichungen seien durch das System 



q l = X l (*, ,,... 2u ), p, = ro t (t, a, , 2 , . . . a 2 _ M ), 

 f h = /2 (*&amp;gt; i j a&amp;gt; ft 2,J? #. = 3 2 (, a, , 8 , . . . 2 ) 



3,1 = X^ (^ i , 8 , . . . 2 J, ^ = ra w (f, a, ,,,... 2w ) 

 integrirt. Man hat dann zugleich, indem man fur t den Anfangswerth T setzt, 



2? = /, (^ i, 8 . &amp;lt;V&amp;gt;, Pi = ro i (^&amp;gt; ,, 2 , 2 J&amp;gt; 

 2 = X 2 0? n a 2 ) ^2 = 8 (^ a,, 2 , . . . 2 J, 



In dem Interal 





= /&quot; 



ist (f eine Function von , q lt q 2 , ... (/, jj 1? p. 2 , ... ^ /&amp;lt;? also, nach Einsetzung 

 der Werthe von q { , . . . q^, p, P^ aus den Integralgleichungen, eine blosse 

 Function von t, , ... . Man kann demnach 



setzen und erhalt 



F= J yrf&amp;lt; = 



r 



Die auf diese Weise bestimmte Grosse V wird eine vollstandige Losung der 

 partiellen Differentialgleichung -^ -t--^ = 0, wenn vermoge der obigen 2 ( u Glei- 

 chungen fur q lt q 2 , ... q^, ql, ql, ... &amp;lt;/J, die Constanten 1? 2 , ... 2 ^ elhninirt 

 worden sind. Aber von diesen 2/u Gleichungen geht die eine Halfte in die 

 andere tiber, wenn man t mit T und die Grossen q t mit den Grossen q&quot; ver- 

 tauscht. Daher muss jede der Grossen ,, 2 ? W 2 /U als Function von t, q { , 

 q 2 , ... q u , r, ^i, q 2 , ... ^J, ausgedrilckt von der Beschaffenheit sein, dass sie 

 ungeilndert bleibt, wenn t mit r, q^ mit ^, ^ 2 m it ?2&amp;gt; 3// ^^ 2ji vertauscht 



20* 



