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Hiermit ist auch die zweite Halfte der Differentialgleichungen (3.) hergeleitet, 

 also der- oben aufgestellte Satz vollstandig bewiesen. Es ist wichtig, dass nach 

 dem erhaltenen Ergebniss die in F enthaltenen /u Constanten willkiirlich gewahlt 

 werden konnen and nicht die Anfangswerthe q&quot;, ql, :. . ql zu sein brauchen: 

 denn zur Einfiihrung der Anfangswerthe hat man Gleichungen aufzulosen oder 

 Eliminationen zu bewerkstelligen , in den meisten Fallen also lastige Operationen 

 auszufiihren, die jetzt vermieden werden konnen. 



Em Punkt des vorstehenden Beweises verdient eine nahere Erorterung. 



Indem wir sahen, dass die fur die Grossen 7^- aufgestellten Gleichungen (4.) 



auch fiir die Grossen -~- gelten, schlossen wir hieraus, dass die Grossen 



dp. 



F- und -r~- einander ffleich sind. Zu diesem Schlusse sind wir aber nur 

 dt dp i 



dann berechtigt, wenn die Grossen ^- durch das System linearer Gleichun- 



gen (4.) endliche und vollstandig bestimmte Werthe erhalten. Dies findet nun 

 bei einem System linearer Gleichurigen immer statt, sobald die Grleichungen 

 sich nicht widersprechen, oder sobald nicht eine oder mehrere eine Folge der 

 tibrio-en sind. Im ersten dieser Falle werden die Werthe der Variable!) un- 



o 



endlich, im zweiten Falle unbesthnmt: beide unterscheiden sich nur durch die 

 Werthe der ganz constanten Terme, denn gesetzt, die letzte Gleichung eines 

 Systems folge aus den ftbrigen, so mtissen diese mit gehorigen Coefficienten 

 multiplicirt und addirt die letzte geben. Aendert man nun in der letzten Glei 

 chung den ganz constanten Term um eine beliebige Grosse, so folgt sie nicht 

 mehr aus den tibrigen, sondern widerspricht ihnen. Beide Falle kommeri also 

 darin uberein, dass, wenn man die ganz constanten Terme auf die linke Seite 

 schalft, die rechte Seite der einen Gleichung. etwa der letzten. sich als die 

 Sumine der rechten Seiten der mit gehorigen Factoren multiplicirten iibrigen 

 Grleichungen darstellen lassen muss. Indem man fiir die in der letzten Hori- 

 zontalreihe stehenden Coefficienten die hieraus hervorgehende Darstellung ver- 

 moge der iibrigen einsetzt, zerfallt die Determinante R der in Rede stehenden 

 Gleichungeh in eine Summe von Determinanten , deren jede zwei zusaimneu- 

 fallende Horizontalreihen besitzt, also verschwindet. Es wird daher auch B=0, 

 und der Ausnahmefall , in welchem der obige Beweis ungiiltig wird, tritt also 

 (insofern die Coefficienten der linearen Gleichungen endlich bleiben, was wir 



