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dz = pdx-\-%dy zu bestimmen tibrig bleibt. Das Letztere erfordert die Inte 

 gration einer gewohnlichen Differentialgleichung erster Ordnung, durch welche in 

 z ausser a eine zweite Constante b eintritt. Es kommt also darauf an, p als 

 Function to von x, y, z und einer willkurlichen Constante a so zu bestimmen, 

 dass der Ausdruck pdx-+-%(x,y,Z,p)dy ein vollstandiges Differential wird. 

 Hierzu ist erforderlich, dass p nach y differentiirt denselben Werth gebe wie / 

 nach x differentiirt, d. h. es muss die Gleichung 



dp dp dz dx dx dz d% ( dp dp dz \ 



dy dz dy dx dz dx dp \ dx dz dx J 

 oder 



_^-_ h _^_ = dx dp | dp ( dx \ dp 

 dx dz dp dx dy \ dp ) dz 



erfiillt werden. Dies ist, da / eine bekannte Function von x, y, z, p ist, 

 eine linear e partielle Differentialgleichung fur p, welche drei unabhangige 

 Variable x, y, z enthalt, und das vorliegende Problem ist also darauf zuriick- 

 gefuhrt, von dieser linearen partiellen Differentialgleichung fur p eine Losung 

 p = ffi(x, y, z, ci) mit einer willkurlichen Constante a zu finden. Der Umstand, 

 dass man nur eine solche Losung zu kennen braucht. wird von Lagrange um- 

 standlich hervorgehoben. 



Betrachten wir jetzt allein den Fall, wo z selbst in ^ und daher auch 

 in / nicht enthalten ist, wo also die vorgelegte partielle Differentialgleichung 

 die einfachere Form 



(1.) *P(&amp;gt;, y, p, q) = 



hat. In diesem Fall kann man auch p als Function von x, y, a ohne z so 

 bestimmen, dass pdx-h/dy ein vollstandiges Differential wird. Da jetzt sowohl 



*^ ^\ 



-~ als -~- verschwinden , so reducirt sich die lineare partielle Differential- 



dz dz 



gleichung fur p auf 



dp dx dy dx 



Statt aber anzunehmen, die gegebene partielle Differentialgleichung (1.) 

 ware nach q aufgelost, wollen wir dieselbe vielmehr in ihrer urspriinglichen 

 Gestalt in die Rechnung einfuhren. Denken wir uns ferner die Gleichung 

 p = a) (x, y, a) nicht nach p, sondern nach a aufgelost, also auf die Form 

 f(x, y, p) = a gebracht, so haben wir uns der Formeln 



