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Siebenundzwanzigste Vorlesung. 



Geometrische Bedeutung der elliptischen Coordinaten in der Ebene und im Raume. 

 Quadratur der Oberflache des Ellipsoids. Rectification seiner Kriimmungslinien. 



Gehen wir nun auf die geometrische Bedeutung naher ein. welche die 

 in der vorigen Vorlesung aufeestellte Substitution fur n = 2 und n = 3 hat. 



Fiir den Fall von zwei Variablen hat man die Gleichung 



= 1. 



Sieht man x, und # 2 als rechtwinMige Coorclinatan an. so ist diese Gleichung; 



z O o 



die eines Kegelschnitts und zwar einer Ellipse, wenn A in den Grenzen - a^ 

 und -(-oo liegt. also beide Nenner positiv sind, dagegen einer Hyperbel, wenn 

 2 zwischen a^ und a 2 liegt, also der erste Nenner negativ, der zweite 

 positiv ist. Aendert sich, indem a^ und a., constant bleiben, die Grosse ^, 

 so stellt die Gleichung ein System confocaler Kegelschnitte dar. Sind x l und 

 #2 gegeben, so giebt es immer zwei Werthe von ^, welche die Gleichung 

 befriedigen, der eine liegt zwischen &amp;lt;Y, und oo, der andere zwischen a^ 

 und 2 , d. h. von einem System confocaler Kegelschnitte gehen durch einen 

 gegebenen Punkt immer zwei und zwar eine Ellipse und eine Hyperbel. Die 

 Variablen A, und ^ 2 f ur x \ un( i X 2 einfuhren heisst daher geometrisch, die 

 Punkte in der Ebene durch die Ellipse und Hyperbel bestimmen, welche durch 

 dieselben gehen und zwei gegebene Punkte zu Brennpunkten haben. Setzt 

 man ^ = Const., so erhalt man alle Punkte auf einer Ellipse des Systems 

 confocaler Kegelschnitte, setzt man 2 2 = Const., so giebt dies alle Punkte auf 

 einer Hyperbel. Die b eiden Systeme der confocalen Ellipsen und Hyperbeln 

 haben mit clem gewohnlichen Coordinatensystem das gemein, dass je zwei 

 Curven eines Systems sich nicht schneiden, und dass jede Curve des einen 

 Systems alle Curven des anderen Systems rechtwinklig durchschneidet. In 

 der That, schneiden sich eine der Ellipsen und eine der Hyperbeln im Punkte 

 (.T,..r 2 ), und ist demnach 



| 



so bilden die Normalen an Ellipse und Hyperbel im Punkt (#,, .1^) mit den 



Axr , . dE 8E dH dH 



Axen Winkel, deren Cosinus sich wie = :^- und wie -* :-s verhalten. 



