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Der Ausdruck fur das Quadrat des Bogenelements irgend einer Raum- 

 curve ist nach Formel (9.) der vorigen Vorlesung 



( - 



( LI. i \ .. (A. A., )( A. A Q ) ,. ( A A, )( A A, ) -.. ( /, A. )( A, A, ) , . 



/7/) 2 _i a/irH ^ 



l t \(a 1 



Setzt man in diesem Ausdrucke eine der Grossen 2 15 ^ 2 , ^ 3 constant, so be- 

 zieht er sich auf eine Curve, welche auf einer der confocalen Oberflachen, 

 z. B. fur ein constantes ^ auf einem Ellipsoid, liegt. Setzt man ferner in 

 diesem Ausdruck zwei der Grossen ^,, 2 2 , ^ 3 constant, so bezieht er sich auf 

 die oben erwahnten Durchschnittscurven und zwar auf diejenigen, welche auf 

 einem confocalen Ellipsoid liegen, wenn man ^ und 2 2 oder ^ und ^ 3 constant 

 setzt, dagegen auf den Durchschnitt zweier confocalen Hyperboloide, wenn man 

 ^ 2 und 2 3 constant setzt. Hiernach erhalt man fiir die Bogenelemente der 

 Durchschnittscurven auf dem Ellipsoid 



(3.) 



und fiir das Flachenelement des Ellipsoids 



^a~^3 . jj j i -I/ ___ (/1 2 AJ^ 



a 



4 



Integrirt man dieses Differential und dehnt es auf alle moglichen Werthe von 

 /1 2 und ^ 3 aus, d. h. von 2 2 = a 2 bis 2 2 = x und von /1 3 = 3 bis ^ 3 = 2? 

 so erhalt man einen Octanten der Oberflache des ganzen Ellipsoids. Dieses 

 Doppelintegral theilt sich aber ganz von selbst in die Summe zweier Producte 

 von einfachen Integralen und giebt fiir die Oberflache des Ellipsoids den Ausdruck 



C _/~ ; _3 r~ fl ,, ,/~~ A, A, 



2J c?A 2 .AJ 



(40 



..f 



A, A. 



welcher aus elliptischen Integralen zusammengesetzt ist. Dies ist der Weg, 

 .auf welchem Legendre die Quadratur der Oberflache des Ellipsoids gefunden 

 hat*). Seine Arbeit ist besonders deshalb von der grossten Wichtigkeit, weil 

 dabei zum erstenmale die Kriimmungslinien als analytisches Instrument zur 

 Transformation der Coordinaten angewendet werden. Nimmt man in obigem 



*) Exercices de calcul integral, I., p. 185 oder Traite des fonctions elliptiques, I., p. 352. 



