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Achtimdzwanzigste Vorlesung. 



Die kiirzeste Linie auf dem dreiaxigen Ellipsoid. Das Problem der Kartenprojection. 



Die Formeln der beiden letzten Vorlesungen fiihren auf einem sehr 

 einfachen Wege zu der bereits in der zweiundzwanzigsten Vorlesung (p. 177) 

 erwahnten bisher fur unausfiihrbar gehaltenen Bestimmung der kiirzesten Linie 

 auf dem dreiaxigen Ellipsoid. Dieselbe wird von einem materiellen Punkt 

 beschrieben, der gezwungen ist, auf der Oberflache des Ellipsoids zu bleiben, 

 und der, ohne dass eine sollicitirende Kraft auf ihn wirkt, nur von einem an- 

 fanglichen Stoss getrieben wird. In diesem Falle verschwindet also die Krafte- 

 function U. 



Bezeichnen # 1? # 2 , x s die rechtwinkligen auf die Axen des Ellipsoids 

 bezogenen Coordinaten des sich bewegenden Punktes, so wird der fiir denselben 

 stattfindende Zwang, auf dem Ellipsoid zu bleiben, durch die Bedingungs- 

 gleichung 



ausgedriickt. Es kommt nun darauf an, x { , x 2 , x 3 als Functionen zweier neuen 

 Variablen so darzustellen , dass diese Werthe, in die Bedingungsgleichung ein- 

 gesetzt, dieselbe identisch befriedigen. Solche Werthe sind diejenigen, welche 

 wir fur x\, x%, x\ in ^ 1? 2 2 , ^ 3 gefunden haben, wenn wir darin ^ als constant, 

 ^ 2 , ^ 3 als variabel ansehen. Durch die Grossen ^ 2 , ^ 3 , welche die Stelle der 

 friiher mit q bezeichneten Variablen vertreten, und durch ihre Differential- 



quotienten ^ = -^-, ^ 3 = ~- haben wir die lebendige Kraft auszudriicken, 



rl T 



alsdann fiir ^ 2 und ^ 3 die neuen Variablen ju 2 = -^- und /u, 3 = -^- einzu- 



2 3 



fiihren, welche den friiher mit p bezeichneten Grossen entsprechen, und 



dT dW dT dW TO u T 



t u 2 = -^7- = -~y-, ^3 = -^77- = -Try- zu setzen. Aui diese vveise ergiebt sich 1 



dW dW 



auso edriickt durch 2 , ^, -^T-J ^TT-? un d die Gleichung T-ha = 0, die man 



O 7 O7 ^-J J -^ ^) 2 ^ C5 



auch in der Form T=h schreiben kann, wenn man a= h setzt, ist die 

 partielle Differentialgleichung des Problems, durch welche W als Function von 

 Z&amp;gt;, ^ 3 definirt wird. Wenn man in Gleichung (10.) der sechsundzwanzigsten 

 Vorlesung die Zahl der Variablen auf drei beschrankt, so erhalt man fiir die 



