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Lagrange hat sich in dem ersten Bande der Turiner Memoiren bemuht, 

 Krafte zu linden, welche man den Attractionen nach den beiden festen Centren 

 hinzufugen kann, ohne dass die Eulersche Losung dieses Problems aufhort, die 

 Integration zu leisten. Obgleich diese Untersuchung zu keinem wesentlichen 

 Resultat gefuhrt hat, so ist sie dennoch von dem grossten Interesse, und zwar 

 nicht bloss fur den damaligen Stand der Wissenschaft, sondern noch gegen- 



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wartig. Die Kraft, welche man nach Lagrange hinzufugen kann, ist eine nach 

 dem in der Mitte zwischen den beiden festen Centren liegenden Punkt ge- 



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richtete und der Entfernung proportionale Attraction. Dies stimmt mit dem, 

 was wir rucksichtlich der kiirzesten Linie auf dem Ellipsoid fanden, vollkommen 

 uberein. Denn durch diese Kraft kommt in der Kraftefunction der Term 

 \k(x\-\-3&) = ^(^-HAa-hOj-t-Oj) hinzu, also auf der rechten Seite der par- 

 tiellen Differentialgleichung, cl. h. in ^Ufa ^ 2 ), der Ausdruck ^(^0 

 wenn man y(X) = ^k \X t -\-(a^- &amp;gt; t-a^)^\ setzt. Zugleich sind dann v(^i) und 

 respective die Glieder, um welche in den nach ^ und ^ 2 genommenen Inte- 

 gralen des Ausdrucks (4.) von W die Zahler unter den Quadratwurzelzeichen 

 zu vermehren sind. 



Wir haben durch die obigen Formeln das Problem der Attraction eines 

 Punktes nach zwei festen Centren, wenn die Bewegung in einer Ebene vor 

 sich geht, vollstandig gelost; es bleibt jetzt noch tibrig den allgemeineren Fall 

 hierauf zu reduciren. Dies geschieht durch das Princip der Flachen. 



Um die Aufgabe in ihrer grossten Allgemeinheit zu behandeln, wollen 

 wir annehmen, ein Punkt werde nicht durch zwei, sondern durch eine beliebio;e 



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Anzahl von festen Centren, die in einer Geraden liegen, angezogen. Alsdann, 

 und selbst wenn noch uberdies eine constante Kraft parallel derselben Geraden 

 hinzukommt, gilt in Beziehung auf die Ebene, welche auf dieser Geraden senk- 

 recht steht, das Princip der Flachen. Ist nun die Anfangsgeschwindigkeit des 

 sich bewegenden Punktes mit der Geraden in einer Ebene, so findet die ganze 

 Bewegung in dieser Ebene statt, und man hat nicht nothig den Satz der 

 Flachen anzuwenden. Liegt dagegen die Anfangsgeschwindigkeit mit jener 

 Geraden nicht in einer Ebene, so beschreibt der Punkt eine Curve doppelter 

 Krummung. Hierbei ist es nun von grossem Vortheil, die Bewegung in zwei 



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zu zerlegen; denkt man sich namlich durch den Punkt und die Gerade, welche 

 die Centra enthalt, eine Ebene gelegt, so kann man sich vorstellen, dass die- 

 selbe um die Gerade rotire, und ausserdem der Punkt sich in der rotirenden 



