234 



Dies sind die transcendenten Integralgleichungen des Systems gewohnlicher 

 Differentialgleichungen 



71 i ji iw 2 -,*, -.n 1 j . 



-n v^i^k _ v A/ ah __ v A/ ax,- _ _ A ^ 



, /- 



. - . j . -- , 



y/ao y/ao y/ao 



wahrend in (3.) die algebraischen Integralgleichungen des namlichen Systems 

 enthalten sind. 



In dieser algebraischen Integration der Differentialgleichungen (9.) be- 

 steht das Abelsche Theorem, und zwar tritt dasselbe hier in einer Form auf, 

 welche vor der ursprimglich von Abel gegebenen den Vortheil bietet, die sonst 

 init grossen Schwierigkeiten verkniipften Untersuchungen iiber die Realitat der 

 Variablen und uber die Grenzen, innerhalb deren man sie zu nehmen hat, 

 wesentlich zu erleichtern. Der obige Beweis des Abefcchen Theorems hat daher 

 etwas wesentlich Neues gegeben, und wenn auch Richelot spater aus dem 

 AbelschQn Theorem selbst dieselben Folgerungen hat herleiten konnen*), so ist 

 rloch immer der hier angegebene Weg derjenige, welcher zuerst und natur- 

 gemiiss darauf gefiihrt hat. 



Da die Constanten c, c n ... c n _ 2 ganz willktirlich sind, so muss man 

 sie so bestimmen, dass die unter den Wurzelzeichen stehenden Ausdnicke /(A,.) 

 positiv, mithin alle Integrale reell werden. 



Aus dem Bisherigen ergiebt sich das Abelsche Theorem noch nicht ganz 

 vollstandig: denn die Function f(%) ist von der (2n l) ten , also von ungerader 

 Ordnung, und es ist daher nothig, den anderen Fall, wo f() von der 2?^ te &quot; 

 Ordnung ist, und der hier als der allgemeinere erscheint, besonders zu be- 

 trachten. Man erhalt denselben dadurch, class man auf der rechten Seite der 

 partiellen Differentialgleichung (1.) zu der Gonstante 2 A noch andere Glieder 

 addirt. Die angewendete Integrationsmethode bleibt zulassig, wenn man zu h 

 die Quadratsumme x\-\-xl-\ ----- \-x n in eine Constante k multiplicirt hinzufiigt. 

 In den Variablen 2 nimmt dieser Ausdruck die Form an: 



&0;-h^,H ----- h^) = ^(a,4-a,H ----- hff-M,-|-A 2 H ----- f-A,,), 

 und indem wir fiir A eine neue Constante 



einf Cihren, haben wir auf der rechten Seite von (4.) an die Stelle von -i- 

 gegenwilrtig den Ausdruck 



Vi +i^CA.-f-AH ----- hA B ) 



*) Crelles Journal Bd. XXIII, p. 354. 



